虚空之地

从今天开始我要开一个数学新坑，我们最后的目的是证明，一般5次及以上的一元多项式方程的没有根式解。按照最开篇的理论，我只会给出证明的脉络及所需要的定理，而不会给出详细的说明。在我的观念里，需要了解证明不外乎两种情况，一是对证明存在质疑，二是证明存在奇妙的手法。而目标的核心在于伽罗瓦映射，属于伽罗瓦理论的基本定理，所以不给证明也是无关紧要的，实在想知道的话可以去找，科普的，学术的，都有很多。 素域想了解伽罗瓦理论，需要稍微有些群和域的知识，至于环其实是无所谓的，对于代数结构，组成都是两部分，集合本身和定义在集合上的二元运算，群包含一种，可以类似的称为变换，域包含两种，可以类似的称为加法和乘法。 基本内容定义1：如果一个域F不含真子域，则称F是素域(或最小域)。对于域的基本操作是扩张，反过来即是找子域，如同自然数中找素数，我们也在域中找最小的域，即素域。对于域，同时包含加法群和乘法群，我们要时刻注意，在抽象代数里，我们使用有类似性质的东西来称呼它，并不代表它们是同样的东西。对于这两个群，都有单位元，为了以后称呼的方便，我们直接记为0和1，同时把运算分别称为加法和乘法。定义2：对于域F，如果p ...

渲染这东西，学得真的简直不要太无聊，重复的东西学一遍，再仿写一遍代码，最后呢？还是得用别人封装好的东西来应用于实际的开发，我一直很疑惑，渲染这玩意除了硬件上升一个层数，算法真的有优化的余地吗？当然我认为的实际的情况是，如今的渲染已经基本满足需求了，不过事实如何，那就不得而知了。 非欧几何今天想讨论的主题是非欧几何的渲染问题，注意我们不会提及光照相关的东西，因为笔者都还在学习呢！而我们现在的目标是弄清非欧几何是什么？泛泛地来讲，不是欧式几何的都是非欧几何。稍微学过几何的人会认为，依欧几里得第五公理的不同，而产生的双曲几何(又称罗巴切夫基几何)，球面几何(狭义黎曼几何)，称为非欧几何。其实都不能算错，关键在于怎么看待它，我们需要提两个要点，首先单纯从公理的角度，欧几里得的五条公理并不完备，大多证明依旧依赖直观，而完备的公理体系应该是希尔伯特在几何基础里所给的五组公理。其次，黎曼几何是微分几何里十分重要的部分，不单只是球面或者椭圆上的几何。相信许多了解非欧几何的人，都喜欢在球面或伪球面上进行思考。确实如此，这也是如今对非欧几何的一个统一看法，那为什么常被讨论的非欧几何只有两种呢？符合直觉 ...

如果你是真的在学习的话，那么实际的情况应该是，你会变得越来越无知，越来越迷茫。而已经有一个人进入了学习的迷茫期，随着学习的渐入佳境，你会变得愈发贪婪，虽然你仍在自己的道理上坚定不移，但是呢？你的道路是学习啊！自以为是的他，以为可以通过大局来将书越读越薄，但事实却是只记住了书的标题，书从来都是越读越厚的。如果读书从未产生疑问，永远都在解决问题的道路上，这可能不是书的问题，而是人的问题。所谓的书难道只是文字的集合吗？并非如此，不然为何他不会直接拿字典来学习呢？知识是字的排列组合？不是的，知识的意义在于联系，文字间的联系，文字与自然的联系，自然间的联系则藏于文字之间，始于人的理解，本质是文字与自然的联系。那么文字又是什么呢？只是一个个汉字，又或者是一个个单词，但这些都是不够的，世界上最神奇的文字是数学。文字的核心意义是记录与交流，传统的自然文字是模糊的，只有通过学习与拟合才能逐渐的理解其中的意义。但理解又是什么，你可否知道呢？数学是最为精确的语言，本应是最好理解的语言，但为何又会折磨着无数的人呢？因为我们没有记忆的理由。自然语言依靠与自然的联系来确定意义并逐渐逼近，而数学则是从自然中抽取核心 ...

无法消解的依赖，在喧嚣世间寻得静谧之处后，又望向那五彩斑斓的世界，不断渴求着，一页又一页，新鲜感随时间消散，只留下无尽的空虚。 无法摆脱的沉溺，在一遍又一遍的重复过程后，厌恶与疲倦之感席卷全身，不断地翻阅，点进又退出，看似光怪陆离之景，却是平淡无奇之常。 若不是心怀期待，又为何常驻于此，若不是有所向往，又为何难以割舍。 在千篇一律之中寻找共鸣，却忽略了隐匿于背后的沉默，请记住，它没有灵性，复杂逻辑的结果来自简单的推演，这是推荐的空虚，没有纷繁复杂的光彩，如同鸡肋，永远找不到认同，因为从来都不是一路人。

在很久以前，我是不怎么接触网络社区的，就算是QQ微信之类的除了收通知，就根本没有用过。在去年，我被同学安利了原神这个游戏，当然我对数值战斗之类的游戏并不感兴趣，主要因为我本身就是一个开发者，除了剧情游戏和沙盒游戏，我基本都不感冒，原神真正让我感兴趣的是分散的叙事手法和开发的技术力。至于技术力有哪些，我不说也说不明白，就拿一句话概括——你会感到莫名的惊艳感。原神的PV、前瞻和幕后等的首发都在Bilibili，正因如此，我真正地接触了B站，接触了所谓的网络舆论环境。有些人将原神当成一个巨大的培养皿和社会的显微镜，虽说有些过于夸张，但终究有几分道理，在其中你几乎可以知道大部分的网络“流行语”，嗯，说到底就是一些缩写。其实，我觉得还是有点过头了，说到底，它终究只是一个游戏，上升到有些层面，实在有些捧杀的意味。甚至，我觉得原神其实热度没有大部分人所说的那么夸张，至少我家里基本就没人知道，许多人甚至只知道个名字。在我眼里，还是如王者，吃鸡之类的竞技游戏热度更大，不过我都不是很喜欢就是了，因为太容易上瘾了。在我眼里，真实的情况是，喜欢讨论的人大多都聚集在这里，原神的评论区是我见过的最丰富的评论区，不 ...

实在没什么可写的了，但还是水一下这部分的最后一篇文章吧。在这里，我们稍微介绍一下一些特殊的欧式作图问题。 结构欧式作图问题的主要结构有三个部分，初始图，作图工具和作图目标。求出所有的作图范围显然比单纯的作图目标更吸引人，所以说真正重要的只有前两部分，有关初始图形我们之前讨论过，它似乎用处不大，因此欧式作图的变形基本在于工具的不同，接下来我们就从这个角度来稍微看看吧。 单规作图 只用一把圆规作图。 结论是，除了连线可以做出所有尺规作图可以完成的图。虽然看起来有些不可思议，但如果仔细品读之前抽象的过程，就会发现尺子就是划线的，对于数域的扩张基本起不到作用。我们需要注意的是，点才是核心，而圆和线实际是可有可无的，除了产生交点，但直线能产生的交点都可以由圆产生。比如角平分线，我们可以只通过圆规来得到平分线上的点，但线的实体还是做不出来。 松规作图 用无刻度直尺和离开纸面就无法保持长度的圆规作图。 结论是，与尺规作图完全等价，实际上，长度迁移并非很重要的功能，在进行抽象化的过程中我们甚至没有使用过这个功能作为公理。我们可以更加明确的说，迁线可以直接通过圆的标点来实现，具体来说，就是通过过圆心 ...

这们在这里打算做一次特别的尝试，有些人可能会认为将一个操作性的问题转化为数的问题总感觉怪怪的，似乎是纸上谈兵但还有几分道理。所以我们打算改变初始图形，不能让它只是空白。 导入一道经典的题目是，已知一个椭圆，尺规做出所有的椭圆信息(如焦点等)。这道题网上有许多解答，可以去参考，这里说一下大体思路，首先我们需要了解一下椭圆的基本几何性质，大多人对椭圆的印象来源于解析几何，其也可以看出许多性质，如对称性之类的，但比较实际的几乎研究来源于射影几何，虽说在射影空间里也存在解析的研究，但核心在于挖掘几何性质。废话说多了，问题的开始就是先找出中心，可以利用对称作图和中点的性质，然后再通过做长短轴就能得到几乎所有的对称性质了，对称优先性，这应该是几何中的一个常识吧。一旦到这一步，后面其实都简单了，准确来说是思路打开了，比如通过勾股定理做出焦点之类的，通过切线做准线之类的。总之，你稍微了解一下这个题目就行了，接下来开始咱们的形式化之旅，这才是重点。 椭圆作图的初始条件我们注意到这样一个事实，不论是否存在椭圆，原来能做的现在一样能做，如我们之前所说，可做数的本质来源于相似所产生的比值，也就是说，我们首先要 ...

尺规作图的路还有很长，接下来我们来讨论一下正n边形的作图问题，因为这个作图存在可作图的情况，如2ⁿ边形，所以我们要使用充要条件，不过这个充要条件不是很好用，所以我们要加点限制，引入一些新的概念。这时你可能会说为什么不先来排除一些简单的情况呢？然后转化为奇数的情况，我只不过想展示一下域论大法，又没想过要教人。 正规扩域由之前的分析可以得知，我们依赖代数扩域(需要定义多项式)来导出作图问题，但作图问题的充要条件依赖的是纯扩域(只要域自身的运算)，为了联系两者我们需要伟大的伽罗瓦理论了，先来一些定义吧。定义1：设有限扩张E/F，F(x)是F上的多项式，E是所有包含F(x)所有根的域的交(即最小)，则称E是F关于F(x)的分裂域。定义2：设域扩张E/F，对于任意F上的多项式f(x)，若E要么包含f(x)所有根，要么不包含f(x)任何根，则称E是F的正规扩域。定理1：设域扩张E/F，E是F的正规扩域当且仅当E是F上某一多项式的分裂域。与代数扩张相关的是分裂域，通过此定理我们将火力转移到了正规扩域上，正规扩域依赖根的特性来定义，而对非根不变的特性有利于我们导出伽罗瓦群，正规扩域可以让其扩张的伽罗瓦 ...

“铁打的图形，流水的API。”最近闲来无事，想去学习一下各种底层的渲染API，这一学就是好几天，而且我只画出了一个三角形。我感慨颇多故有以下这篇文章，我不会讲图形，只是从开发者的角度说说感受。 OpenGL源代码 12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667686970717273747576777879808182838485868788899091929394#include <glad/glad.h>#include <GLFW/glfw3.h>#include <iostream>int width = 1280;int height = 720;#pragma comment(lib, "glfw3.lib")int main() { //window glfwInit(); auto windo ...

“这充分证明了C++代码和VC++代码是不同的。”这事发生在我引用一个老开源项目的时候，那个作者还在用win7和使用vs2013，出问题的代码，我大致模拟了一下，就是如下这样 内容比较简单，就是一个函数返回一个结构体，我们将它返回值的引用传给另一个函数来输出。我的环境是win10和vs2019，原来作者当然是没有报错的，而我这里报了“取地址操作必需作用于左值”。所谓“左值”指的是可以寻址的值，如果认为返回的值是一个结构体，那它确实应该是一个左值，因为它们之间传递的是引用。如果我稍微加一个缓存变量，如下 则一切运行正常。当时我一直被这个左值纠结，也秉着面向浏览器编程的理念，围绕这方面找了许多例子，错误代码搜索，相似代码查询，却怎么也找不到原因，我甚至怀疑返回结构体这个操作是否有问题，但最终还是无果。后来，我怀疑是不是vs的编译器取地址面向的是函数而不是函数的返回值，所以我决定用GUN套件来编译一下，结果 果然GUN套件才是真正的神啊，它旳意思是临时变量不能取地址，所谓临时变量指的是它值的作用范围只有当前这一行，而函数的返回值就是典型的临时变量，嗯，其实这和编 ...