虚空之地

对于个人而言，在游戏开发的过程中，最缺的可能就是游戏素材了，素材的获取途径是多样的，但往往我们都是在某个游戏之中发现某个想要的素材，所以游戏解包成了我们需要的技能之一，如今大部分手游的开发引擎都是Unity(对apk拆包就可以在lib下发现libunity.so)。“知己知彼，百战不殆”，所以在拆包前，我们需要从整体上认识Unity的架构，虽然Unity对免费用户并不开源，但许多类似的思想是不会改变的，不会影响我们的理解。 从开发的视角看UnityUnityHub是一个没用的玩意，不用管它，我们重点来研究UnityEditor。Unity对我来说是一个闭源项目，所以要想研究Unity，只能从官方文档和工程目录开始研究。 官方文档Unity的文档总共有两部分，用户手册和脚本API，前者是基本属于整个UnityEditor软件的操作手册，后者则是脚本开发的API查询手册，虽然其并没有告诉我们Unity的架构，但我们可以以此作为依据了解个一二。一般的游戏引擎由软件库加头文件组成，比如我们的cocos2dx，这类引擎使用起来和一般的第三方库区别不大，但这种开发方式存在开发语言的依赖性，比如跨平 ...

分析就是无理数的“四则运算”，级数就是无理数的“表达方式” 接下来我们将研究最常见的两个无理数e和π，并证明它们的无理性和超越性。我们引出一个问题e和π的定义是什么？当你知道这一点的时候，你就会发现接下来的证明是如此的自然。 e是无理数证明：首先e的“定义”是，使用反证法，假设e是有理数，则存在整数a和b，使得，变形得 ，∀n∈N 方程的右边是一个整数，而左边为 其中显然是一个整数，而对另一部分 所以当n充分大时，即超过确定的数b时，等式的左边非整数，矛盾，所以e是无理数。证毕类似的证明可以扩充到e的幂上，但比较繁琐，所以我们将介绍另一种证明e的幂是无理数的方法引理：对于某个确定的整数n≥1，令 则有(1)函数f(x)是一个多项式，且形如，其中均为整数(2)当0<x<1时，有(3)对所有的k≥0，微分取值和均是整数。上述这些性质对于确定的函数f(x)来说，是可以直接计算来证明的，所以不进行过多的赘述，我们依据这个函数的性质来完成我们的证明定理：对任意的r∈Q{0}，是无理数。证明：由于有理数的整数次幂仍然是有理数，所以我们只需要对任 ...

数学从名字上来看，就是关于“数”的学问，不过英语看不出来就是了，所以对数有一个清晰的认识是十分重要的。在这一篇中，我们要说明两个事实，实数的完备性和复数的代数封闭性，我们先回忆一下几个简单的集合记号，自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、代数数集A、复数集C。 实数的完备性实数分为有理数和无理数，对于有理数Q的基本特点，我们的认识是十分清楚的，比如可以将Q看成一个无限的素域，Q中的数有个十分良好的特性是，所有的数都可以用自然数来有限表示，而自然数的构造又有各种公理，如皮亚诺(Peano)公理，又或者用集合基数来构造。所以实数中的难点在于无理数，从有理数到无理数的过渡。实数的构造是接下来讨论的一个重点，我们还会揭示实数的性质要通过分析的性质来表现，分析之于实数就如四则运算之于有理数。 康托尔(Cantor)的实数构造法学过分析的都知道，无限序列是最基本又最重要的概念之一，所谓序列就是自然数到实数的函数映射，因为我们还没有定义实数，所以定义有理数序列(rₙ)为自然数到有理数的映射f(n)，n∈N。定义：设(rₙ)是有理数序列，如果存在有理数l，使得对任意给定的正有理数ε，都可以找到自 ...

思维导图这玩意，我就基本没有画过，因为我知道，画了最后也只能入库吃灰，对我而言，抄抄想想就足够了。一切要求都来自外部，现实的事情是无法摆脱的，如果不是老师强迫我们画思维导图，我都不知道低质的软件还真是多啊。付费的软件真的好吗？付费存在两种机制，买断和内购，前者流行于国外，后者广泛存于国内。白嫖本身不利于软件本身的发展，会严重将软件引入歧途，内购机制什么时候进入国内的，我不太清楚，但我只记得以前并非如此，但盗版真的太难避免了，这是国内的大环境，是没有办法的。有钱人的世界，不在我们考虑定位范畴，世界上乐于分享的人还是有许多的，开源社区绝对是一个好的选择，当然前提是你愿意去折腾。要么付钱，要么付时间，没有付出就被想奢求回报。 百度脑图百度脑图，全称kityminder-editor，是一个十分远古的Web项目，不过还跑在百度的服务器上，地址 其功能比较简陋，操作也不算复杂，拿来应付作业还是足够的。我们看一下可用的导出格式 思维导图在程序界并非什么重要的东西，没有统一的格式编码标准，但又存在一定市场，所以导致了各种不同的思维导图格式。txt和md是常见的文本格式，svg是矢量图 ...

学了这么多抽象理论，多少感觉有些魔幻，一点实感也没有，所以在这一篇我们的目标就是消去它们。 三次方程二次方程过于简单，四次方程过于繁琐，更高次的方程没有一般解法，所以我们选取中庸，拿三次方程来试试水。 解方程一般的三次方程如下 我们先把x³-1=0的本原根添加到基域F中去，即令F含有和，令是方程的三个根，则有分裂域，由之前的分析我们有G=Gal(E/F)≌S₃。我们有可解合成群列，依据伽罗瓦对应我们得到域列，其中B=Inv(A₃)，A₃≌Gal(E/B)是一个3阶循环群，B是F的一个正规扩域，E是B的一个3次循环扩域。接下来我们要寻找根式扩域所需的数。令Δ=(α₁-α₂)(α₂-α₃)(α₃-α₁)，则Δ在偶置换A₃下不变，在S₃中奇置换下变为-Δ，故Δ∈B且Δ∉F，进一步有D=Δ²∈F，计算可得D=-4r³q-27q²+18rpq-4p³+r²p²。因为[F(Δ):F]=2和[B:F]=2，所以B=F(Δ)。因为α₁,α₂,α₃不能全属于B，所以不妨设α₁∉B，同上面类似的过程，我们可以得到E=B(α₁)，由于α₁不能确定，所以我们采用证明的方法来构造需要的数。 ...

在这一篇文章中，我们将向着文章的最后目标进发，由此得到一个方程运用根式可解的判定准则。 根式可解的严格定义数学是一门严谨的学科，定义都不清不楚的情况下进行证明，理论上来说是不严谨的，不过最原始的概念还是得依靠公理的。定义1：设首一多项式f(x)∈F[x]，称f(x)=0在F上运用根式可解，如果存在F的某个扩域K满足以下条件：(1)K包含了f(x)在F上的分裂域E，即F⊆E⊆K。(2)K/F有如下根式塔F=F₁⊆F₂⊆…⊆Fₙ₋₁⊆Fₙ=K其中每个，，i=1,2,…,n，即是纯扩张，我们顺便把自然数集{n₁, n₂, … , nₙ₋₁, nₙ}称为此根塔的根次数集。这个定理看似十分的繁琐，但其实是在说明，运用根式可解等价于，方程可以化为xⁿ-a=0的形式。这符合我们的基本认知，加减乘除是域本身的基本运算，我们平方的逆运算来扩张基本域，这样分裂域中就只有加减乘除和开根号了，即根是由系数的四则运算和开根号组成。在定义中，我们并没有强制要求E=K，这是因为，分裂域E一定是F的正规扩域，但K是由条件(2)所定义的纯扩域，而纯扩域不一定是正规扩域。 单位根的地位在方程与纯扩张关系中，最纯粹的莫过于 ...

在2D动画制作上，方法是很多的，比如Adobe系列软件，但我们更专注于将动画嵌入到游戏和软件中去。采用直接播放媒体文件的方式可行，但可控程度不高，不是我想要的。目前有两种比较常用的可控动画，它们是骨骼动画和Live2D动画，对于前者有付费的Spine和免费的Dragonbones，而后者主要是从美术布线和基本变形实现的，也是我们接下来要讨论的主题。 文件形式在使用任何开发型工具时，了解相关的文件格式是十分必要的，这样有助于我们理解，文件存了什么，又能修改什么。我们使用的工具是Live2DCubism，其分为两部分Editor和Viewer，功能显而易见，软件3.0前后不兼容，所以我们讨论最新的版本。cmo3(Cubism Model 3)，即Live2D模型文件，包含图像数据psd、网格数据、变形器数据、参数等。这里有必要稍微讲一下Live2D实现的基本原理，先来看一个基本的动作演示(Tampermonkey配合PicviewerCE+可以方便地看图)， 也就是说Live2D动画的本质，是不同参数对应着不同的画面，当然我们不可能每一帧都有一张图片，所以我们实际使用的是补间动画，动 ...

曾经有这么一个人，他很喜欢学习，所以每当他看到有趣的课程，他就会去看看。这是他发现，可恶，课程为什么如此的长，竟然高达几个小时，没办法了，等哪天闲下来了再说吧，于是收藏了下来。过了以后，他又发现了一个类似的课程，但总觉得有些新东西在里面，可是时间很紧急，没办法只能再收藏了。不知不觉一天已经过去了，收藏夹里多了好多课程，长达上百个小时，今天过得十分“充实”。几天过后，终于空闲了下来，这两天可贵的假期一定要把握住，啊，有这么多小时的课程啊，时间有些不够呢？看来只能开启倍速了，加速学习走起。没过几分钟，哎呀，怎么这么慢啊，啰啰嗦嗦地讲这么多，就为了这么简单的东西，跳过跳过。两天过去了，所有课程都“学完了”，学习的日子真实充实啊！今天又看到了几天前学过的课程，随手翻了翻目录，说起来这个东西是干什么的来着，嗯嗯，确实有这个东西，但好像有点想不起来了，算了算了，收藏收藏。嘿，你学了这么多东西，做这件事情应该很简单吧。这个嘛！好像可以那么来着，但是什么来着，不不不，我还在学习的阶段呢！还有很多需要学的东西呢？还没有到实践的时候呢！你也太累了吧，一天到晚都在学习，真的学得进去吗？当然了，我学得很快的， ...

伽罗瓦的成功之处在于，将群和域这两个看似无关的东西进行了联系，在这一部分，我们来稍微看看所谓的对应是什么。 域的回顾在开始正题前，我们来稍稍地回忆一些有关域的一些概念，域的内容主要集中在域扩张上。如果扩域可以基于基域形成有限线性空间，则称为有限扩张，其维数则称为扩张的次数，类似于群中的指数。在域上定义多项式，通过多项式的根定义域上的代数元，由添加一个代数元即可得到单代数扩张，多个的话直接叫做代数扩张。然后直接证明，代数扩张都是单代数扩张，单代数扩张等价于有限扩张，到这里这几种扩张的结构基本清晰。于是又开始研究其它扩域，如包含方程根的最小扩域——分裂域，要么包含所有根要么不包含根的正规扩域。前者是用来证明相关定理的有力工具，还能与正规扩域建立等价关系。我们将有限正规扩域称为伽罗瓦扩域，而这即是我们本节研究的重点了。 小小性质伽罗瓦扩域虽说定义简单，但还是有些值得讨论的东西。设E是F的有限扩域，则由定理可知，E必是F的单代数扩域，于是可以找到这个添加元的最小多项式，在此基础上，我们可以得到多项式下的分裂域E⁺，它是E的扩域，也可能是E本身，再由定理可知，它一定是F的正规扩域，我们可以把E⁺ ...

伽罗瓦理论最重要的基础是群和域，通过前面的内容，我们已经了解了域的扩张和域的简单分类，所以这部分主要的内容是了解群的一些比较重要的内容。至于群是什么，子群和同构之类的简单内容就不过多赘述了。值得注意群最好的对应，不是加减法，而是集合的映射。 陪集设H是G的子群，任取，记 则称这个集合为H在G中的一个左陪集。 同样的我们有右陪集。在通常的情况下，左右陪集不一定相同，但我们可以很容易地发现，陪集互不相交且正好覆盖父集，即H在G中的所有陪集是G的一个划分，同时更近一步可以得到以下定理。拉格朗日定理：设G是n阶群，H是G的m阶子群，则m必整除n。所得的数n/m称为H在G中的指数，记为[G:H]=n/m。这个定理就是通过陪集划分的性质得出来的，从中我们还可以引出一系列的推论，如，H在G中左右陪集个数相等且均等于H在G中的指数，陪集中元素的个数与H相等。需要注意，这个定理对有限群一定成立，但无限群可能就会有很多奇怪的情况了，最后给一个十分显然的指数公式。定理1：设K≤H≤G是三个群(若不加说明，对于群来说，我们使用K≤H表示，K是H的子群)，且G是有限群，则有 循环群在群内我们 ...