数学探索之数其四

如果实数如之前所说，是一种定义性的存在的话，那么改变定义是否就意味着一种新的可能呢？确实如此，让我们来看看这些新奇的玩意吧。

可和性

无穷级数的可和性，或称收敛性，是分析中常见的东西，这里我们不说过多的东西，单纯介绍几种可和性，扩宽眼界。首先把传统的收敛拿出来遛遛。
传统收敛：对无穷级数，其部分和为，若存在，则称此无穷级数收敛，其收敛值为极限的值。■
它的定义和性质都是在熟悉不过了的内容，接下来进入我们的正题吧
Poisson可和性：对无穷级数，若极限式存在(注：此处级数为传统和式)，就称此无穷级数Poisson可和。■
这是传统无穷级数的无矛盾拓展，由Abel求和法而来，可以兼容传统收敛性，或者说兼容传统级数是可和性拓展的必要条件，否则矛盾的理论的意义并不是很大，由这种定义我们有许多有趣的结论

与此同时，这种可和性也可以解决傅里叶级数边缘收敛出现的问题，也正是我们平常所看到的那样。
Frobenius可和性：对无穷级数，定义

其中，若右边极限存在，则称此级数Frobenius可和。■
这种可和性来自于解析延拓，比如传统定义的黎曼函数，其收敛域是Re(z)>1。对于2n<0，通过此种可和性可以得到，解析延拓后得到的结果也是同样的。在这种可和性的基础上，还能进行拓展，定义

定义Holder可和性为，存在某个k使得以下极限式存在

这是Frobenius可和的拓展，k=1时Holder可和就变为Frobenius可和，所以Frobenius可和一定Holder可和，Holder可和有更多的内容。
Borel可和性：对无穷级数，定义函数

如果对于下式

中间的积分有意义，且收敛到f(x)，则称级数Borel可和，其收敛到函数f(x)。■
这是一个对幂级数收敛的拓展，来源于Stieltjes应用连分式对发散无穷级数的研究，比较复杂，不想说太多，知道有这么一回事就行了，基本没怎么用过。

超复数

很多人或许听过四元数、八元数之类的，并认为其是复数的拓展，我们暂时称其为超复数，这或许是没错的，但并不严谨，比如你知道在复数上可以和实数一样建立分析学，但并不知道在超复数上能否建立分析学。

简介

超复数的本质是代数的，分析的成分本质是实数的，在传统意义下，为了兼容复数的运算，我们能从代数上定义出四元数h=a+bi+cj+dk，a,b,c,d∈R且有运算性质

和

类似的，我们还可以得到八元数o=x₀+x₁i+x₂j+x₃k+x₄l+x₅il+x₆jl+x₇kl，x₋都是实数，il,jl,kl都是与i,j,k,l无符号关系的记号(当然也可以用其它的，只要能区分就好了)，其运算性质可由Fano(法诺)平面来记忆

进一步我们还能得到十六元数e，其项太多，而且基本没有性质，就不列出来了，我们没有继续构造下去了，其原因就是性质，从复数到四元数失去了交换性，从四元数到八元数失去了结合性，从八元数到十六元数失去了交错性，你可能没有听过交错性，确实如此，因为它实在太弱了，我们后面会介绍，到十六元数以后基本都没有性质了，所以研究的价值并不高，我们将四元数全体记为H，八元数全体为O，十六元数为E。对于超复数，你可能觉得好像可以直接看成向量，看成线性空间，本质上确实如此，只不过还应该多加一些东西。其中的“基”你可能觉得比较神秘，并不像复数一样可以简单的把i看为，因为它们其实已经超出了一般数的范畴，拿四元数为例，它是有矩阵表示的，我们先定义Pauli矩阵为

， ， ，

其可以张成R上的一个4维线性空间，四元数也是R上的一个4维线性空间，所以两者是同构的，其对应关系为

,,,

所以2×2特殊酉矩阵群SU(2)和四元数群H确实是同构的。但八元数并不结合，所以也不是群，自然也不能和矩阵群GL(n)的某个子群同构，所以从纯代数上考虑是必要的，为什么不考虑分析呢？因为分析的本质是实数的，当剔除实数以后，复数域C开始，本质都是代数的，所以要严谨地定义超复数必需从代数结构上考虑。

代数

设A是域F上的线性空间，在A中的双线性乘法是指A×A到A的映射(a,b)→ab，满足∀a,b,c∈A,k∈F有(1)a(b+c)=ab+ac(2)(a+b)c=ab+bc(3)(ka)b=a(kb)=k(ab)■
定义：定义了上述双线性乘法m:A×A→A的线性空间A称为域F上的代数，记为(A, m)。■
代数实际上就是一个2对1的映射，两个输入，一个输出，计算机中就是这样定义四则运算的，而且代数本质是一个线性空间，依赖于一个基域，所以在超复数中见到实数见怪不怪了。
定义：称域F上的两个代数(A,m),(B,n)是同构的，如果存在可逆映射f:A→B，使得∀x,y∈A均有f(m(x,y))=n(f(x),f(y))。■
以下把代数可能出现的性质进行列举
交错性：∀x,y∈A，(xx)y=x(xy)和(xy)y=x(yy)
结合性：∀x,y,z∈A，(xy)z=x(yz)
交换性：∀x,y∈A，xy=yx
以下是几种代数的叫法
零代数：∀a,b∈A，ab=0
可除代数：非零代数，且∀a,b∈A，ab=0⇒a=0或b=0
交错代数：满足交错性
结合代数：满足结合性
交换代数：满足结合性和交换性
注意结合性蕴涵交错性，即结合代数一定是交错代数。再引入类似于复数共轭的概念
定义：设A是实数域R上的一个代数，如果存在名为共轭的线性映射-:A→A使得，∀a,b∈A均有

则称A为一个共轭代数，称一个共轭代数是实的，如果∀a∈A都有■
Cayley-Dickson扩张：设A是一个共轭代数，所谓的Cayley-Dickson扩张是指由A生成一个新的代数A’：A×A，∀a,b,c,d∈A和λ∈R，定义
加法:(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，标量乘法:λ(a,b)=(λa,λb)，乘法:(a,b)(c,d)=(ac-d,d+cb),共轭:=(,-b)。■
于是我们有，R’=C,C’=H,H’=O,O’=E,…，在从实数到复数，定义复数(0,1)=i即可，其它的以性质类推，这是一个无限的过程，但后面的代数没什么意思，所以一般只考虑到八元数O，我们给出为什么只考虑到八元数的原因的系列定理
定理(Zorn)：交错的实可除代数一定同构于R,C,H,O中的一个。
定理(Frobenius)：结合的实可除代数一定同构于R,C,H中的一个。
定理(Hurwitz)：赋范实可除代数一定同构于R,C,H,O中的一个。
十六元数不是可除代数，所以压根没有考虑的必要，还有这里所赋予的范数就是复数模的抽象。对于超复数并不会产生什么有趣的东西，实际上以上面代数定义为基础，可以衍生出许多其它的非结合代数。
设g是域F上的一个代数，记其乘法为[a,b]，a,b∈g，满足(1)∀a∈g，[a,a]=0；(2)∀a,b,c∈g，[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0，则称g为F上的一个Lie代数。
这些代数的意义不在于数本身，而在于某些特殊的运算上，一般叫什么都不是很重要，知道其性质就足够了，而抽象结构的研究主要还是为了理清其中的逻辑关系。

p进数

接下来我们要进入一个与无理数平行的世界p进数(p-adic)域，它与实数一样是有理数的扩张，但它们的非有理部分并不相交。

Hilbert符号

我们先来看看p进数是怎么来的，对于素数p，定义有理数域Q的子环

定义的可逆元全体为=，它是一个域，由此所有的有理数都可以唯一表示为的形式(最约分式的p幂，在分子时m取负数，在分母取正数，没有取零)，有m和u两个参数。对于素数p和非零有理数a,b，由上述可记

令

我们定义同态为

对于整数a和p，“a mod p”表示a除以p的余数，注意这并不是同构，因为是商环，元素个数是有限的。我们将在中的像记为“r mod pⁿ”(注意与上面整数的情况进行区分)，于是可以定义希尔伯特符号了

注意到第一个式子的右边是Legendre符号，稍微介绍一下吧，设a不整除p，如果x²≡a(mod p)有解，则称a是p的二次剩余，由此定义勒让德符号

其是一个乘性函数，再通过二次互反律和一些特殊值就可以计算所有值了，这属于数论，所以我们主要来说Hilbert符号的公式

通过上面性质，我们就可以计算所有的Hilbert符号的值了，最后引入此符号的作用定理
定理：设a,b是非零有理数，则除去有限个素数p外，且有。■
定理：设a,b是非零有理数，则ax²+by²=1存在有理解的充要条件是对所有p(素数或∞)均有。■

定义

p进数的定义法有许多种，我们先从希尔伯特符号开始，由类似于上面的定理，我们实际可以得到实数的情况

当然这个十分简单，排除非实复数即可直接解出来答案，或许我们有这样一个想法

看到这你可能十分的疑惑，那是因为我们还没定义p进数及其运算性质，我们先放着，看看所谓的“实数与p进数的平行”。由上述我们可知，有有理数解意味着有实数解、2进数解、3进数解、5进数解…，所以有理数是实数与p进数的公共部分，而有实数解不一定有p进数解，但也可以有p进数解，两者并不矛盾，因为两者可以不同时出现，所以实数虽然与p进数有相交部分，但并不完全有包含关系，属于平行关系。接下来严格地定义p进数吧，和实数一样，我们从有理数域Q出发。
设p为素数，对于有理数a≠0，有分解的，定义a的p进赋值为和。其一些性质可以简单地验证，我们直接进入下一阶段。
对于有理数列{xₙ}，称其p进收敛于有理数a是指
当n→∞时，→∞
这里的符号，可以像在实数那里一样写成ε-δ语言，只是将绝对值替换为了p进赋值。比如说若，则按p进收敛于。
为了更进一步，我们引入a的p进绝对值为，接下来就是p进收敛的完备性，对于有理数列{xₙ}，如果对任意的有理数ε>0，存在自然数N，使得当m,n≥N时，均有

则称其为p进Cauchy列。
剩下的没什么好说了，与实数是一样的，先定义序列的等价，然后将等价类定义为相应的p进数，再通过极限性质来证明基本运算法则，我们就得到了p进数域，并可以证明p进数域是完备的。在p进数中，级数和的性质比实数更加简单
定理：若，则级数在p进数域中p进收敛的充要条件是。

构造

上述的定义的直观性太差，一时难以理解，其实实数也是一样的，明明那么模糊，却能如此简单地被接受，那是因为我们可以找到一些实数的具体表现，如无限不循环小数、根式等，所以我们也试图找一些p进数的表现，并加入运算法则。
对于每个素数p，我们定义p进数域具体为以下形式

其中是模p的数域，在之前篇章中介绍过(实际只是为了得到p个符号，具体是什么并不重要)，其中的级数展开，我们称为p进数的p进展开。乍看之下，你会觉得这是p进制，但仔细一看会发现无限的方向是反过来的，显然对于有限的情况，其就是有理数的p进制展开，而对于无限循环的情况就有些麻烦，但依旧表示有理数，后面我们举例子说明，而无限不循环情况就是我们的非有理p进数了。然后四则运算就可以很容易地定义出来了，按照p进制的运算法则即可，而且这还与实数不同，可以正向的进行下去，不像实数那样还会让人纠结0.999…是否等于1这样奇怪的问题。
我们不打算更加深入，我们的目的只是介绍，并且说明有理数扩张的本质复杂性，以及在考察非有理数表现时可能出现的问题。拿上面的例子0.999…举例，首先确定它的定义并不属于有理数范畴(准确来说就是“小数是什么”并没有严格定义，更别说无限小数了)，其定义属于实数，必需以分析来进行定义，即0.999…实际是有理数序列aₙ=的表现，我们可以知道这个有理序列的等价类是1，所以并不是0.999…=1，而是从实数的定义上0.999…就是1。而p进数就比较神奇了，比如非有理5进数应该类似于…14243.2这样的形式，我们拿一个有理数进行一下p进展开

我们加一个下标来区分一般的十进制小数，实际上我们还有

所以同一个有理数的不同p进展开，还是有差别的，但有理与无理的划分仍然是绝对的。

非标准分析

非标准分析与传统的分析相比，其实并不会有更多的内容，实际用起来的话，和牛顿那个时代差不多，就是有一种量很小却不等于零。非标准分析更重要的部分是从数理逻辑上证明其严格性，比如这样子

里面的话都比较抽象，我来稍微说一下。一阶语言即我们平常所用的到逻辑语言，这此基础上添加相关公理，即可得到不同的一阶理论，比如添加皮亚诺公理形成一阶算术，而一阶实数传统认为要求完备有序域，“域”就是抽象代数里的那套公理，“有序”即表示顺序那套公理，而“完备”则要靠引入分析的语言来实现，其意思就是所有的柯西列都是收敛的。如果去出完备公理，有理数和实数都满足剩下的公理，即都是有序域公理的模型。也就是说，我们是为了引入实数而需要分析，而不是在实数之上建立分析，这种思考所带来的就是那套ε-δ语言。
非标准分析的思想是将去除完备公理的实数理论扩大，即扩大有序域公理，注意这里公理是逻辑系统上的形式公理，而添加的公理是这个，这个意思就是在符号集中添加一个比任何常数都大的数，即无穷大，然后在数理逻辑中可以证明其有一个由实数R扩充而成的模型，通常记为。要从数理逻辑上来理解，对于数学基础差的人来说十分困难，如果从应用角度，这些底层细节并不重要，重要的是其具体表现怎么样，有有怎样的性质，如果这样想，问题就会简单很多。总之，非标准分析其实就是无穷量运算的严格化，我们来稍微说说吧。
对于实数集R，我们先认为其没有完备公理，只是单纯的一个有序域，为了区分我们将其记为，由于公理减少，所以它可以比R有“更多元素”，由于它们存在于公理之上，属于模型，我们不能直接假设包含关系，而应该寻找对应关系，来使得新的体系兼容旧的实数体系。在中没有阿基米德性，即存在一个数可以大于任何数，就是我们刚刚看到的那条公理，注意了这都是逻辑上的，没把它和实际搞混了，于是我们可以定义有限和无限的概念。
定义的有限集为

这里我们用了自然数，因为自然数是可以定义出来的，首先对于域，其存在0和1，运用加法，可以生成所有自然数，因为本身是有序域，自然数属于内部元素，所以自然可以比较，绝对值可以直接以0为划分，按传统定义即可。我们将F的元素称为有限的，-F的元素称为无限的。在此基础上我们再定义一个子集

1/x表示乘法逆元，我们将I中的元素称为无穷小。这此基础上，我们进一步定义接近的概念，如果x,y∈且x-y∈I，则记x≈y，称为x(无限)接近y。可以证明F是的子环，I是F的一个理想，而且≈是上的一个等价关系。所以我们可以建立F到F/I的自然同态，我们把x∈F对应的像记为，F/I是一个域，而且还能证明同态映射可以保持序关系，即F/I是一个有序域，而且F/I还有阿基米德性。我们说F/I这么多为了什么呢？其实是为了保证F中的分析与无穷小的运算是兼容的。
如果不等于I(可以看成F/I的一个元素)，则称x为标准数。可以证明对任何有限数x∈F，存在唯一的标准数s和无穷小i∈I，使得，s称为x的标准部分，记st(x)=s，这是F到F的一个映射。可以验证st保持加法和乘法，进一步可以得到st(x)=0当且仅当x为无穷小，由此推出st(x)≈st(y)当且仅当x≈y。有了这些准备，我们来在此之上建立分析学，并将F/I与实数对应起来。
设F是到的映射，称F在a点收敛于b，当且仅当，对所有的x≈a都有st(F(x))≈b，记为。我们不通过比较语言来定义，而通过无穷小的运算来定义收敛，而且是针对映射而言，当然称为函数也可以的，定义函数极限后，就能定义分析学了。这时你可能会纠结序列极限呢？这里我们再理一般之前所说的内容，传统的分析需要通过序列极限严格引出实数，在在此基础定义函数极限从而引出分析学。之所以需要序列极限是为了传统极限所需的完备性，没有完备性，定义函数极限是不严谨的。而非标准分析的目的就是绕开完备公理来建立分析学，从而使得无限变成一个实在的量。举个简单的计算例子，求f(x)=x²的导数，设h为无穷小则

注意最后变成了≈，那是因为极限的结果就是无限接近。由之前可知，无限接近的x和y在F/I的像是唯一的，如果我们将有限数F中所有无限接近的数看成一个等价类，那么它可以与F/I一一对应。F/I是一个有序域，不妨将里面的加法单位元记为0，乘法单位元记为1，很容易的我们可以构造出有理数来，由于F/I有阿基米德性，所以系统不同，它没有无限元，所以可以在这里构造出完备公理，换句话说F/I与实数R可以同构，所以实数R可以与有限数集F建立同态映射，由此可知确实相当于R添加无限数后的结果。注意这里完备公理的建立并非必要，只是为了说明R与F可以建立同态关系，也为了表明这样在建立的分析可以兼容传统在R上的分析。
至此非标准分析就告一段落了，但值得注意我们这里有许多不严谨的地方，我们的目的只是为了介绍，而不是严格地证明，而且非标准分析说到底只是一种看待分析的思想，在我看来能理解就好，重要性嘛，感觉不是很大。就说这么多吧，有关数的旅途就到这里了。