从之前对实数的定义可知，实数是有理数序列的等价收敛类，换句话说，对于一个实数而言应当有多种不同的表现形式才对，其结果基本来自于分析，我们拿我们的老朋友π来举例。

，，，，，

在开始正式分析前，先稍微说点东西，首先表达式基本以无穷级数作为基础，目的是明了的，我们只要取部分和或部分积，就可以得到一个序列，与我们之前的讨论并不冲突，其次是目标实数π经过了某些运算，这是必需的，如果看来拉马努金(Ramanujan)的一些公式的话，就能明白其中的道理了，好像全是π的倒数，最后一个是比较特殊的逼近方式，连分数，理论比较完善，表达比较单一，没有更多需要研究的地方。最后再来说一个有理逼近的定理，来明确表明，任意实数都存在无限靠近的有理数
Dirichlet逼近定理：设r和Q是任意实数，且Q>1，则存在整数p和q满足

证明：先假定Q为整数，构造Q+1个实数
0，{r}，{2r}，…，{(Q-1)r}，1
其中{x}=x-[x]表示x的分数部分，均位于区间[0,1]内，划分[0,1]为Q个区间
[,)，u=0,1,…,Q-2，[1-,1]
由抽屉原理，至少有两个数落在同一区间，故存在整数r₁,r₂,s₁,s₂，其中1≤r₁,r₂≤Q-1，且r₁≠r₂，同时有

不失一般性，假设r₁>r₂，因此可取q=r₁-r₂、p=s₁-s₂，则可得所求不等式。
若Q非整数，则设Q₀=[Q]+1，重复上述操作，使用不等式Q₀>Q即可证明一般情形。证毕
由于上述不等式的Q是任意选取的，q是大于1的，因此可以进一步的到特殊情形

选取Q任意的大，则意味着任何实数都有任意逼近的有理数，具体的构造就如之前所举的例子，不断选取子级数即可，我们接下来看看一些具有普遍适用性的展开式。

连分数

连分数看似是一个唯一不依赖分析的展开，但实际并非如此，除非是有规律的连分数，否则连分数的构造依赖于由其它展开所得到的值。所谓的连分数，指的如下的式子

这样的表达比较繁琐，通常情况下我们提取关键信息，用Pringsheim记法来表示连分数，选取连分数的n节，称为连分数的第n次渐近分式，简记为，对于渐近式存在递归公式，使用渐近分式可以构造无穷级数，比较简单就不加赘述了。均等于1的连分数称为普通连分数，可以证明所有的收敛连分数均存在唯一的普通连分数表示，所以以后我们均以普通连分数来表示连分数，对于其第n次渐近分式记为，由之前的讨论可以实数与普通连分数可以一一对应，且有理数对应有限连分数，无理数对应无限连分数，构造过程可以从小数开始不断取整取倒数来递归构造，所以我们重点来讨论普通连分数，连分数有比较丰富的逼近理论，但也就那些，挖掘不了更多的东西，所以我们就说说一些特殊的连分数。
我们先看一些连分数的特例

我们发现有些连分数存在循环的结构，一般的，对连分数，若存在自然数N和k使得，对任意的t>N，均有，其中A%B表示A除以B所得的余数，则其为循环连分数，并简记为，其中，上述例子即可如下表示

有关连分数，我们给出一个显然的定理，证明就直接跳过了
循环连分数定理：实数x可以展开为循环连分数的充要条件是x是某个整系数二次方程ax²+bx+c=0的无理数根。

幂级数展开

幂级数展开即通过泰勒定理实现的展开式，泰勒公式本身是比较复杂的，我们实际需要的只是其无穷级数的表达，即函数的拉格朗日(Lagrange)展开式，任何一本微积分教程都有叙述，所以我们就简单地拿出其结论来。
实数情形：若f(x)在点x=x₀处有任意阶导数，则对x₀可导领域内的x有

泰勒级数有个很关键的点是，在特点点领域内有无限阶导数，这样就可以用此点导数值的有理运算来计算逼近了。通常x₀要选择便于计算的值常用的是x₀=0，这样就有一系列的公式

这里举了一些常见的例子，指数函数和正余弦函数都是全纯函数，对于x没有必要限制，ln(x)在x=0处没有定义，因此需要进行一定的平移，另一个函数同理，实际上对孤立奇点，在复数域内可以用洛朗级数来展开，在复数完备性那里提过。
复数情形：设f(x)和在区域C内和C的边界上解析，a为C内的一点，存在C上的一点ξ使得使得参数t满足|tφ(ξ)|<|ξ-a|，且有恒等式z=a+t，则有展开式

在这里t是一个单纯的参数，没有多余的意义，但z是受到上述方程约束的，我们拿以下例子来说明
令，通过约束方程z=a+t可以得到

令f(z)=z，则有展开式

在这个例子里，虽然t看起来是参数，但与泰勒一对比就可以发现，t才是真正的自变量。不过实际上这个公式用的也不多，复变函数用的更多的是洛朗级数，所以也不过多介绍了。

分式展开

此类展开主要针对半纯函数，其核心部分是Mittag-Leffler定理，我们不加证明的直接给出结论。
米塔格-累夫勒定理：设半纯函数f(z)的极点为a₁,a₂,a₃,…，0<|a₁|≤|a₂|≤|a₃|…，如果存在具有下列性质的简单闭曲线(以后简称为围道)列{Cₙ}:(1)当n→∞时Cₙ到原点(z=0)的最近距离Rₙ→∞，但lₙ/Rₙ有界，lₙ是Cₙ的周长(2)在Cₙ上

p为某最小非负整数，M为与n无关的正数，则f(z)有如下的展开式

其中

是f(z)在aₙ的主部，

■

这个定理对全纯函数而言，可以看成在z=0处的泰勒级数，但其与洛朗级数是不同的，可以从条件和结论进行对比可得，而且还有许多参数都是待定计算的，我们举一个简单的分式展开例子

显然这和泰勒级数是完全不一样的形式，实际上cot有0<|z|<π上的幂级数(洛朗级数)展开

其中是伯努利(Bernoulli)数，其生成函数是

当然还可以通过递归来计算伯努利数

大于1的奇伯努利数均为0，其余的偶伯努利数则通过公式来计算，通过两种展开式相等的特点可以计算黎曼函数的某些值

乘式展开

函数乘式展开可以用于半纯函数，可以通过Weierstrass定理得到，至于无穷乘积的收敛性质，可以通过取对数变为无穷和来讨论，我们就不过多说明了。
魏尔斯特拉斯定理：设f(z)在有限区域内无本性奇点，其零点(或极点为)a₁,a₂,a₃,…，0<|a₁|≤|a₂|≤|a₃|…，则f(z)有无穷乘积展开式

其中G(z)是一个整函数，G(0)=0;gₙ(z)是一个适当选取的多项式，它使得无穷乘积在任意有限区域内，除去极点以外，绝对且一致收敛;mₙ是零点(或极点)的阶，对于极点使用负数来进行区别。■
与前一个定理一样，这也是一个存在性定理，具体的参量需要特别计算。有个整函数的特殊情形，可以直接计算得到
定理：设整函数f(z)只有不为零的一阶零点a₁,a₂,a₃,…，，且存在围道序列{Cₙ}，在其上有，M为与n无关的正数，则f(z)有无穷乘积展开式

其中每个因子只在一点为零，可以称其为整函数f(z)的因子。■
这里看起来好像条件变多，但实际上不然，比如极限式保证函数有无限个零点，对于有限零点的整函数，实际上只有多项式，注意我们考虑的是复数域，而另一个f(z)的限制条件，使得我们可以直接用f(z)来构成我们需要估计的参函数，所以实际上反而变简单了。我们举一个具体的例子

利用乘积展开和sin(z)的泰勒展开，不严谨地使用韦达定理，我们可以得到黎曼函数ζ(2)的值。

渐进展开

这并非什么新的东西，渐进展开即当参数足够大时函数的近似表达式，通常都应用于积分计算之中，比如设函数

则f(x)有渐进表达式展开

～

其中～表示两者比值的关于n的极限趋于1，即等价的意思。这部分没有什么比较统一性的定理，所以在这里也算是提出这么一种展开思想，如我们之前所说展开式理论上是无穷的，我们寻找的往往是具有普遍适用性的，有些特例拿出来就只是为了说明可以这么展开罢了，下面说一个特例定理，主要针对Laplace积分
Watson定理：若是定义在|arg t|<θ内的单值解析函数，当t→∞时，b为实数，而当t→0时

～

则有渐进展开式

～

|z|→∞,|arg z|≤π/2-δ,δ>0
其中Γ(s)为伽玛函数，为阶乘的解析延拓。■
没什么好说的，值得注意的是渐进展开不一定收敛，因为余项趋于零的级数不一定收敛，调和级数是一个典例。

正交函数组展开

设有一组连续的函数，a≤x≤b，定义权为ρ(x)>0内积运算

其中是的共轭复数，若对所有的自然数m,n有

则称是正交归一的。最常见的一个例子就是我们在傅里叶级数中用到的，其中n为整数，其权函数为恒为1的常函数，当然这是傅里叶级数的复数情形，但与三角情形是完全等价的，可以通过欧拉公式完成转化。为了深入理解，我们多举一些正交函数列的例子，先介绍一个常用的函数，超几何函数通过幂级数来定义

其中(q)ₙ为Pochhammer符号，定义为

其中Γ(s)为伽玛函数。简便起见，我们直接将超几何函数记为F(a,b,c,z)，其中a,b,c为参数，由此我们可以定义一组函数
Gₙ(α,γ,z)=F(-n,α+n,γ,z),n∈N
称其为雅可比多项式，其正交性由以下积分给出

虽然没有满足归一条件，但实际上对于线性无关的基是有正交对一化手续的。那么找到正交归一化的函数列有什么用呢？学过线性空间的应该知道线性空间的一个基本定理，线性空间中的任何元素都可以用一组基来线性表达。于是有一个自然的想法，我们可以将满足特定条件的函数来构成一个函数空间，并拥有线性空间的性质，于是可以运用基来表达所有函数了，而基呢，正是我们的正交归一函数组，不过其不是一般的欧式空间(有限维)，而是其推广希尔伯特空间(无限可数维)，对于实变函数而言函数的共轭等于其本身，雅可比多项式是一个很好当然例子，我们稍微介绍一下实变函数中的函数空间
定义：设f为E⊆Rⁿ上的Lebesgue可测函数
(1)记

,1≤p<+∞

称为函数f的p范数，称集合

为空间。■
显然集合E限制了定义域，在实数范围内f的2范数就是之前所定义的内积，至于Lebesgue可测这个条件，本质挺复杂的，但我们遇到的函数基本都是，就直接过了。
定理：(1≤p<+∞)构成一个线性空间。■
证明需要很多实变函数的知识，参考任意一本教程都可找到证明。对于p=2的情形，在最后我们再给一个定理，来结束此部分的内容，中任一规范正交系都是至多可数的。

其它

在上面的，我们构造了许多种泛用的函数展开，虽然没有看到具体的数，但聪明的读者应该会自己进行一系列的推广，修行综究得靠个人，如同加减乘除，难道需要将每个情况都一一列举说明吗？显然不可能，我们只会考虑通用的运算法则。
在最后的最后，我们对不定积分再讨论一个定理，即初等函数在什么情况下的原函数非初等，通过欧拉公式将三角函数化为指数函数，初等函数的全体可以看成由多项式、指数和对数生成的代数闭域，这里使用代数闭域的原因是因为根式，根式的本质是非整幂函数，为了使用域中的结论，我们进行了转化，至少研究函数域比单纯研究函数方便许多。
Liouville(刘维尔)定理：初等函数f存在初等原函数当且仅当存在常数c₁,…,cₙ和初等函数β₁,…,βₙ,γ满足

这个定理的证明从微分域的角度来看会更加的清晰自然，但证明的本质是初等的，在《从面积问题到Louville理论》这本书的最后详细地介绍了证明过程，如果要从微分域的角度更加清晰地理解的话，可以参考这里，因为这不是什么重点，就不过多赘述了，好了，就说这么多吧。