数学从名字上来看，就是关于“数”的学问，不过英语看不出来就是了，所以对数有一个清晰的认识是十分重要的。在这一篇中，我们要说明两个事实，实数的完备性和复数的代数封闭性，我们先回忆一下几个简单的集合记号，自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、代数数集A、复数集C。

实数的完备性

实数分为有理数和无理数，对于有理数Q的基本特点，我们的认识是十分清楚的，比如可以将Q看成一个无限的素域，Q中的数有个十分良好的特性是，所有的数都可以用自然数来有限表示，而自然数的构造又有各种公理，如皮亚诺(Peano)公理，又或者用集合基数来构造。所以实数中的难点在于无理数，从有理数到无理数的过渡。实数的构造是接下来讨论的一个重点，我们还会揭示实数的性质要通过分析的性质来表现，分析之于实数就如四则运算之于有理数。

康托尔(Cantor)的实数构造法

学过分析的都知道，无限序列是最基本又最重要的概念之一，所谓序列就是自然数到实数的函数映射，因为我们还没有定义实数，所以定义有理数序列(rₙ)为自然数到有理数的映射f(n)，n∈N。
定义：设(rₙ)是有理数序列，如果存在有理数l，使得对任意给定的正有理数ε，都可以找到自然数N=N(ε)，当自然数n≥N时均有

则称l是序列(rₙ)的极限，或称序列(rₙ)收敛到l，记为。
定义：设(rₙ)是有理数序列，如果对任意的正有理数ε，都可以找到自然数N=N(ε)，使得对一切不低于N的自然数m和n，均有

则称(rₙ)是一个有理数基本序列。
学过分析的可以看出，这两个定义分别是有理数版的数列极限定义和柯西(Cauchy)收敛定理，但在有理数内，并非所有的基本序列(注意与序列的区别)都是收敛的，换句话说，在这种性质下，有理数是不完备的。为了满足柯西收敛定理，我们迫切需要扩充有理数，以达到完备的目的。

实数的定义

不同的收敛序列有可能可以收敛到同一个数，所以我们有必要先引入一个等价关系
定义1：设(rₙ)和(sₙ)都是有理数基本序列，如果则称(rₙ)和(sₙ)是等价的，记为(rₙ)～(sₙ)。
令所有有理数基本序列组成的集合为M，则等价关系“～”可以把M分为若干个的等价类，如有理数基本序列和都收敛到0，属于M的同一个等价类。
定义2：有理数基本序列的集合M，按等价关系“～”划分的每一个等价类称为一个实数。
将一个等价类定义为实数，你可能会不太习惯，但实际我们之前就已经这样做过，如Z₇是模7运算的域，里面的每个元素都是模7运算的等价类。实数也是同理的，和都可以称为实数中的0，而每一个序列可以看作这个实数的代表元素。我们将收敛到有理数的等价类称为实有理数，没有收敛到有理数的等价类称为实无理数。这与传统的定义是不同的，拥有更加丰富的性质，定义上也更加严谨。

代数运算

为了说明这样定义的实数确实是原来有理数的扩充，我们需要它能保持在有理数中的运算性质，即域所对应的性质。然后仔细考虑的话，不就是数列极限的性质吗？这确实都在分析中证明过了。
我们先来定义域中的加法运算，但在此之前，需要证明唯一性，使它确实是一种运算
引理1：如果(rₙ)和(sₙ)都是有理数基本序列，则(rₙ+sₙ)也是有理数基本序列。

引理2：设(rₙ)、、(sₙ)、都是有理数基本序列，若(rₙ)和等价，(sₙ)和等价，则(rₙ+sₙ)和等价。

极限的证明都属于比较基础的东西，记住ε加任意正系数均等价即可。
加法的定义：设实数α是以有理数基本序列(rₙ)为代表的等价类，实数β是以有理数基本序列(sₙ)为代表的等价类，则称以(rₙ+sₙ)为代表的基本有理数序列为实数α和β的和，记作α+β。
注意这里揭示了一个很重要的事实，实数的运算相当于等价类中一个代表的运算，但代表往往都是无限的，所以实数相关的证明可能是十分多样复杂的，最后的这个定理就不证明了
加法的定理：实数的集合R关于加法是一个交换群(Abel群)。
有理数与实有理数进行对应也是很简单的，设r是一个有理数，(r₍ₙ₎)表示全是r的常序列，则(r₍ₙ₎)的等价类构成有理数r在实数中的对应，显然(r₍ₙ₎)收敛于有理数r，是一个实有理数，所以有理数与实有理数是一一对应的，于是这个加法交换群的单位元就是(0₍ₙ₎)的等价类。
乘法可以进行相应的定义，不过证明的时候需要用到收敛序列的有界性，详细可以参考分析的相关内容，这里我们直接给出结论。
引理3：如果(rₙ)和(sₙ)都是有理数基本序列，则(rₙsₙ)也是有理数基本序列。
引理4：设(rₙ)、、(sₙ)、都是有理数基本序列，若(rₙ)和等价，(sₙ)和等价，则(rₙsₙ)和等价。
加法的定义：设实数α是以有理数基本序列(rₙ)为代表的等价类，实数β是以有理数基本序列(sₙ)为代表的等价类，则称以(rₙsₙ)为代表的基本有理数序列为实数α和β的积，记作αβ。
乘法的定理：实数的集合R{(0₍ₙ₎)}关于乘法是一个交换群(Abel群)。
为什么要排除零元，理由不过多解释，接下来很容易验证分配律，于是得到了我们最终的结论
定理1：实数集合R对于上述定义的加运算和乘运算是一个域。

序

有理数还有顺序的性质，在实数中，我们也可以相应的定义它，而在分析中对应的实际是保号性的证明，我们先来定义实数中的正数
正有理数基本序列的定义：有理数基本序列(rₙ)称为是正的，如果存在正有理数ε₀和自然数N，使得当自然数n≥N时，均有。
引理5：正有理数基本序列的等价类都是正有理数基本序列。
基于这种共同的性质，我们可以完成我们的需求了
正实数的定义：由正有理数基本序列的等价类确定的实数称为正实数。
记所有正实数的集合为R₊，再记R₋={-α | α∈R₊}，-α是α在加法交换群中的逆元，我们以下的实数划分定理
定理2：(1)(0₍₀₎)∉R₊且(0₍₀₎)∉R₋；(2)R₊∩R₋=∅；(3)R=R₊∪{(0₍₀₎)}∪R₋
我们成R₋中的元素为负实数，则实数可以划分为三个互不相交的类，正数、零和负数。以此为基础很容易定义出大小关系
序的定义：如果α-β是正实数，则称β小于α，记为β<α。
这个定义可以构成有序域，而且按照我们之前的对应关系，可以将有理数的序与实有理数的序形成一一对应。
定理3：有理数域Q与实数R的实有理数子域同构，所以R是Q的扩张。

完备性

对于实数，我们最后再定义一个绝对值运算

为了方便以后直接把(0₍₀₎)记为0，两者的对应关系我们已经说明过了，容易验证它与有理数绝对值有类似的性质。这样我们就有了序和绝对值，我们可以开始着手定义实数的基本序列和收敛了
定义：设(ρₙ)是实数序列，如果存在实数ρ，使得对任意给定的正实数ε，都可以找到自然数N=N(ε)，当自然数n≥N时均有

则称l是序列(ρₙ)的极限，或称序列(ρₙ)收敛到l，记为。
定义：设(ρₙ)是实数序列，如果对任意的正实数ε，都可以找到自然数N=N(ε)，使得对一切不低于N的自然数m和n，均有

则称(rₙ)是一个基本序列。
首先我们有以下定理
定理4：若有理数基本序列(rₙ)∈实数ρ，则(rₙ)收敛到ρ。
这个定理说明了，在有理数和实数的两种定义是一样的，进一步说明了在收敛性质上，实数也是有理数的扩张
实数的完备性(柯西准则)：实数序列极限存在的充要条件是它是一个基本序列。

戴德金(Dedekind)的实数构造法

我们在实数研究中，比较偏向于上一种定义实数的办法，因为它具有丰富的分析性质。但还有许多其它的构造法，极富创造性，稍微欣赏一下也是可以的，我们在这里介绍一下Dedekind的构造法。

实数的定义

定义3：设Q是全体有理数的集合，∅是空集，X是Q的一个子集，满足：(1)∅≠X≠Q；(2)若r∈X,s∈Q,s<r,则s∈X；(3)若r∈X，则存在k∈X，使得r<k。则称X是一个实数。
这个定义看起来挺复杂的，但实际它表示的是开区间(-∞,)，只不过它的取值只能是有理数罢了。我们考虑X在Q中的补集，若Q\X中有最小数则称X为第一类实数，若若Q\X中没有最小数则称X为第二类实数，我们先给出一个对应定理
定理：X₀是第一类实数的充要条件是：存在有理数r₀，使得X₀={r∈Q | r < r₀}。
这样以后，有理数和第一类实数可以形成一一对应，所以我们可以直接称第一类实数为有理数，第二类实数为无理数。

序

我们很难定义出，这种实数的运算，但如果考虑完备性的话，重点在于定义极限，我们可以绕开运算，从集合来定义极限，在此之前我们先定义一下序吧
偏序的定义：设X和Y是任意两个实数，若X⊆Y，则称实数X不超过实数Y，记作X≤Y。
序的定义：如果X≤Y且X≠Y，则称X小于Y，记作X<Y。
容易验证序的一些简单性质，如自反性，传递性等。

收敛性

定义：设(Xₙ)是一个实数序列，X₀是一个实数，如果同时满足
(1)对任意实数A<X₀，都存在自然数N=N(A)，使得当n≥N时，有A<Xₙ；
(2)对任意实数B>X₀，都存在自然数M=M(B)，使得当n≥M时，有B>Xₙ。
则称(Xₙ)是以X₀为极限的收敛序列，记作

这实际是数列的迫敛性的集合表述
定义：设(Xₙ)是一个实数序列，满足：对任意正有理数ε，必有有理数r=r(ε)和自然数N=N(ε)，使得当自然数n≥N时，均有

则称实现序列(Xₙ)是基本列，其中X(r)表示有理数r，在实数中的表现(-∞,r)。
有了这两个类似于之前的定义，我们就可以得到我们最后的完备性定理了
完备性定理：实数序列是收敛序列的充要条件是它是一个基本列。
最后稍微提一下，两种实数构造之间的关系
关系定理：康托尔实数集和戴德金实数集是互相同构的，满足阿基米德公理的，完备的有序域。

实数完备的等价命题

从我们的第一个完备定理(柯西准则)，我们可以推出一系列有关实数完备的定理，它们从多方面说明了实数的多种性质，但它们都是等价的，均可以引出实数的定义，均可以说明实数的完备性
单调有界原理：单调有界的实数序列必有极限。
区间套定理：若{[aₙ, bₙ]}是一个区间套，则存在唯一实数。
确界原理：非空有上(下)界实数集，必有上(下)确界。
戴德金连续性定理：设A和B是实数集R的一个划分，且A中所有元素均小于B中的元素，则要么A中有最大数，要么B中有最小数。
下面的定理主要从拓扑性质上来考虑
Heine-Borel有限覆盖定理：若H是区间[a,b]的一个(无限)开覆盖，则可以从H中选择有限个开区间覆盖[a,b]。
Weierstrass聚点定理：实数集R中的有界无限点集必有聚点。
这些定理证明不麻烦，难点在于搞清它们之间的关系，公理有哪些，哪些又是要证明的，等等。
有关实数，我们其实只需记住几点，实数可以由由有理数无限逼近，实数具有分析完备性，而实数的其它性质如连续，本质上也是分析的完备性，我们通过极限产生实数的基础运算体系，而整个分析的基础正是极限，这也从另一种角度表明了，分析确实是实数的基础运算法则。想要理解实数，分析是不可避免的。

复数的完备性

说完了分析的完备集实数R，让我们来看一下另一种完备集复数，它代表了代数的封闭性。

代数闭包

我们同样从熟知的有理数出发，如果想要只依赖域上的运算来产生函数，那么是否存在统一的表达式呢？如果是一元函数，进行一番思考后，大致可以猜出，它应该是Q上多项式域Q[x]的分式域Frac(Q[x])，简称有理函数域，记作Q(x)。在给出各种严格定义后，实际可以从域论的角度证明。考虑函数的话，我们自然的想看看反函数如何，如对于每个有理函数f(x)∈Q(x)和有理数r∈Q，是否都存在x₀∈Q使得f(x₀)=r，显然由我们的常识就知道这是不可能的。运用基本的移项和通分，上面的问题实际等价于，对任意的多项式f(x)∈Q[x]，是否都存在x₀∈Q使得f(x₀)=0，为了方便，我们把这样x₀称为多项式f(x)的根。
定义4：域K称为代数闭域，如果对于每个非常数的f(x)∈K[x]在K中有根。域k的代数闭包是指k的一个代数扩张K，且K是代数闭域。
定理5：任何域都存在代数闭包。
这个证明需要用交换环的理想理论，比较复杂，但这看起来如此显然，我们就不证明了。我们举几个例子，有理数域Q的代数闭包是代数数域A，实数域R的代数闭包是复数域C。注意，代数数是具体的数，指的是有理系数多项式方程的根，与域上的代数元类似，但有本质的不同。而代数数的性质，如可以构成域，且是代数闭域，是可数集，不在我们讨论的范畴。

复数域C实数域R代数数域A有理数域Q

代数基本定理

代数基本定理：任何复系数一元n次多项式方程，在复数域上至少有一根(n≥1)。
如果从抽象代数的语言来表述的话，就是
代数基本定理：复数域C是代数闭域。
不论是代数闭域，还是基本定理，我们都只要求一个根，那是因为得到一个根后，可以做多项式除法，得到低一次的方程，再运用定理，如此反复，就可以说明，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根了(重根按重数计算)，所以选择最简单的形式来便于证明。
因为[C : R]=2，所以复数和实数之间没有其它域。实际上，如果只证明任何实系数多项式都有复数根，也足以推出代数基本定理。
设复系数多项式∈C[x]，定义共轭方程，则容易验证∈R[x]是实系数方程。若f(x)有复根z，则z也是g(x)的复根。若g(x)有复根z，则z或者是f(x)的根，又或者是的根。若z是的根，则是f(x)的根。因此f(x)有复根，当且仅当有复根。所以实系数多项式都有复数根可以推出代数基本定理。这个证明还能推出一些有意思的推论，如奇数次实系数多项式必有实根。

复分析证明

复数是实数的扩域，实数离不开分析，复数也是同理的，复数只有在分析上才能看清其许多性质，但篇幅有限，我们不再反复定义极限、可导、可积之类的东西了，复数的比较性质要通过类似绝对值的模转化为实数来实现，在拥有了比较性质和绝对值性质以后，复数域就可以轻易的开始定义分析概念了，我们只讲复数特有的性质和概念。

基本分析性质

我们将连通开集称为区域，没有自交点的曲线称为简单曲线，对于区域D，其边界为简单闭曲线C，记闭区域=D∪C，区域D内部的任何一条简单闭曲线的内部都属于区域D则称D为单连通区域，不是单连通区域的区域称为多连通区域，极限、可微(可导)、可积都可以很容易在区域上定义出来，我们考虑一些其它的东西。在一点解析表示在这一点的某个领域内处处可导，区域(开集)内的解析函数(或全纯函数)即在整个区域内处处解析，不解析的点称为奇点，解析是比可微更强的条件，在整个复平面上解析(全纯)的函数，称为整函数。
可导(可微)：函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z=x+iy处可导的充要条件是u(x,y)、v(x,y)在点(x,y)处(实)可微，且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程(简称C-R方程):

解析：函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是u(x,y)、v(x,y)在D内处处(实)可微，且满足C-R方程。
对于这个C-R方程，有没有觉得很像，平面曲线积分与路径无关的条件，确实如此，解析也有类似的性质，我稍后一些会讲到。实际上，u和v还同时满足拉普拉斯(Laplace)方程，互相称为对方的共轭调和函数。

基本分析定理

柯西积分定理：设f(x)在单连通区域D内解析，则f(x)在D内沿任意一条简单闭曲线C的积分均有

此定理有许多含义，如在解析区域内的积分与路径无关，由此可以导出复积分的牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式，笔者比较喜欢Leibniz的求导式。同时此定理还能推出，计算闭积分经常用到的闭路变形原理，把求一个闭积分，分解为内部每个更小的非解析闭区域的积分之和，在处理有孤立奇点的情况十分好用。更近一步我们有
柯西积分公式：设函数f(z)在简单闭曲线C所围成的区域D内解析，在上连续，是D内任一点，则

从这个定理，我们可以看出复解析一个很强的性质：解析函数的导数仍然是解析的，依照这个公式，我们有，然后我们再给出复分析一系列有名字的定理
最大模原理：设函数f(z)在区域D内解析，且f(z)不是常函数，则在D内|f(z)|没有最大值。
最小模原理：若区域D内不恒为常数的解析函数f(z)，在D内的点z₀有f(z₀)≠0，则|f(z₀)|不可能是|f(z)|在D内的最小值。
柯西不等式：设函数f(z)在|z-z₀|<R内解析，又|f(z)|≤M(|z-z₀|<R)，则有不等式

刘维尔(Liouville)定理：若f(z)在全平面C上解析(全纯)且有界(取模)，则f为常数。即，有界整函数必为常数。

极点和零点

泰勒(Taylor)级数：设f(z)在区域D内解析，z₀为D内的一点，R为z₀到D的边界上各点距离的最小值，则当|z-z₀|<R时，f(z)可以展开为幂级数

其中。
由这个定理和幂级数的基本性质，我们可以导出函数在一点解析的充要条件是它在这一点的某个领域内可以展开为幂级数，这实际上也是魏尔斯特拉斯(Weierstrass)对解析函数的定义。
洛朗(Laurent)级数：设函数f(z)在圆环域R₁<|z-z₀|<R₂内处处解析，则f(z)一定能在此圆环域中展开为

其中，C为圆环域内绕z₀的任一简单闭曲线。
我们将洛朗级数的非负次幂部分称为函数的解析部分，负次幂部分称为称为函数的主要部分，函数的奇异性主要出现在函数的主要部分中。在某个去心领域内处处解析的奇点称为孤立奇点，依据在此点洛朗级数的主要部分的系数，我们可以对奇点分类
可去奇点：∀n<0，Cₙ=0
极点：只要有限个整数(至少一个)n<0，使得Cₙ≠0，其中最小整数的绝对值为极点的阶数
本性奇点：有无限个整数n<0，使得Cₙ≠0
区域内所有奇点都是极点的函数称为区域上的亚纯函数，极点和零点存在一定程度上的对应关系
z₀是f(z)的m阶极点的充要条件是

且φ(z)在z₀处非零解析，

z₀是f(z)的m阶零点的充要条件是

且φ(z)在z₀处非零解析。

相互关系：如果z₀是f(z)的m阶极点，那么z₀就是的m阶零点。从这里出发，零点有一个独特的性质：不恒为零的解析函数的零点是孤立的。然后是有关留数的东西，即C₋₁，虽然很重要，但很自然，所有我们选择直接跳过。
对数留数定理：如果f(z)在简单闭曲线的内部除去有限个极点外是解析的(亚纯函数)，并且在C上非零解析，则有

N为f(z)在C内零点的总个数，P为f(z)在C内极点的总个数，阶数也计算为个数。
辐角原理：同前一个定理的条件，C内零点与极点个数之差等于，z沿C正向绕行一周后辐角arg f(z)的改变量除以2π。

证明

我们考虑的多项式均是非常数的整函数
引理(Alembert)：设f(z)是复多项式，f(z₀)≠0，则有充分接近z₀的复数z₁，使得|f(z₁)|<|f(z₀)|。
这个定理说明了，多项式的模有无限下降的性质

证明1：

对于|z|>1的复数z有

记L=|aₙ₋₁|+…+|a₁|+2|a₀|+1，则当|z|≤L时
|f(z)|≥|a₀|+1>|a₀|=|f(0)|
考察圆盘K={(x,y)∈R²|x²+y²≤L²}，其为R²中的有界闭集
故实连续函数g(x,y)=|f(x+iy)|在K中的某点(x₀,y₀)取得K上的最小值，由于K外的值均大于|f(0,0)|，所以|f(x₀,y₀)|是R²上的最小值
由Alembert引理，可知f(x₀,y₀)=0，z₀=x₀+iy₀是函数f(z)的零点。证毕
实际上，这个证明与直接用最小模定理来推出是一样的
证明2：
因为f(x)是全纯函数，f(0)是一确定值，所以我们可以找到实数r>0，使得|z|≥r时|f(z)|>|f(0)|。取闭区域|z|≤r，则f(z)在区域内有最小模，不在边界上，由最小模原理，这个最小模点必是函数的零点。证毕
由对数留数定理可以推出以下引理
引理(Rouche)：设f(z)和g(z)在简单闭曲线C上及C内解析，且在C上满足|f(z)|>|g(z)|，则在C内f(z)与f(z)+g(z)的零点个数相同。
这个定理说明了，加上模更小的函数不会改变零点的个数
证明3：
设f(z)=zⁿ，g(z)=a₁zⁿ⁻¹+…+aₙ₋₁z+aₙ，则

所以当|z|→+∞时，→0，故存在R>0，使得当|z|≥R时有<1，故在|z|=R上，|g(z)|<|f(z)|
由f(x)和g(x)的解析性和Rouche引理可得，f(x)和f(x)+g(x)有相同个数的零点，f(x)在z=0处有一个n级零点，故f(x)+g(x)也有n个根。证毕

证明4：

仿照证明1，存在最小模点z₀和r，使得|z|≥r时|f(z)|>|f(z₀)|，若f(z)无零点，则g(z)=在整个复平面上解析，且有|g(z₀)|≥|g(z)|，容易推出与最大模原理(解析函数的圆盘域内出现了最大值)或刘维尔定理(解析函数有界且非常数)矛盾，故f(z)有零点。证毕
复分析的证明基本大同小异，实际还有许多类似的证明，但没有启发性的东西，所以我们就到此为止吧。

拓扑证明

目前普遍的观点认为，所有代数基本定理的证明本质都是拓扑的，依赖于空间的连续性。类比于2维平面上，实变函数的零点定理。
设X和Y是拓扑空间，若映射f:X→Y将X中的开集映射为Y中的开集，则称f为连续映射，将所有X和Y上的连续映射的集合记为C(X,Y)。设f,g∈C(X,Y)，若存在一个连续映射H:X×[0,1]→Y使得(1)∀x∈X,H(x,0)=f(x)(2)∀x∈X,H(x,1)=g(x)，则称f与g同伦。
性质：设X为拓扑空间，Sⁿ为Rⁿ中的单位球面，若f,g∈C(X,Sⁿ)，且f(x)≠-g(x),∀x∈X，则f与g同伦。
这个同伦映射函数可以直接构造出来，实际上，到凸集的任何连续映射都同伦。
证明5：
用反证法，假设n次复系数多项式∈C[x]没有根，则a₀≠0，否则0是多项式的根，∀r>0，定义函数

再构造同伦映射H:S¹×[0,1]→S¹为

定义常值映射(H在t=0时)，则与是到S¹上的同伦(此时可以称其为零伦)。构造连续映射h:S¹→S¹为h(z)=zⁿ，由上述性质可得，h与同伦，h不可能是零伦，所以假设不成立，即n次复系数多项式必有一零点。证毕
从这里我们又注意到一个事实，就是证明过程中，我们经常用到多项式h(z)=zⁿ，在复分析证明中也是在不经意间用到了。有关这方面内容，我们还可以进行更多的讨论，从而对代数基本定理有更加深刻的理解
设整函数f(z)，圆盘域|z|≤r，当自变量z绕圆盘边界|z|=r一圈，f(z)绕原点旋转的圈数称为f(z)在|z|=r上的卷绕数。对于全纯函数f和g，若|g|<|f|在|z|=r上恒成立，则f和f+g在此处有相同的卷绕数，在复分析中，卷绕数相当于辐角，后一个性质相当于Rouche原理。
设f(z)为复系数n次多项式，由之前的分析可知，存在R使得f(z)在|z|=R上的卷绕数与xⁿ相同，均为n，而在极端情况|z|=0上的卷绕数为零，定义关于f(z)的连续变形，其中t∈[0,1]是变形参数，从t=0到t=1，函数从f(0)到，若f(z)无零点，则变形过程中的f(z)不会经过原点，即卷绕数不变，但初始卷绕数为0，结束卷绕数为n，矛盾，故f(z)必有一个零点。
这段描述形象地说明了，复分析上的证明，本质使用的是复平面的拓扑性质，上述说明可以放到复分析中，用辐角定理严格地证明出来。

代数证明

最后的证明过程，我们要依赖两个十分显然的事实。
事实1：每个复系数2次多项式f(z)∈C[z]必有一个复根，即复数域C没有2次扩张。
事实2：每个奇数次多项式f(x)∈R[x]必有一个实根，即实数域R不存在大于1的奇数次扩张。
对于事实2，当x→∞时，f(x)～xⁿ，若n为奇数，则f(-∞)f(+∞)<0，也可以像之前证明一样找到相应的上下界，使得|f(x)|>|xⁿ|即可，由连续函数的零点存在定理，即可得到事实2，接下来我们只考虑实系数方程。(事实2的本质也是拓扑的，也用到了xⁿ)
证明6：
对首一n次多项式f(x)∈R[x]，设f的次数n=deg(f)=，m是奇数。我们对k进行归纳证明，当k=0时，就是事实2。假设小等k-1时命题成立，我们来证明k≥1的情况，
设P是多项式f(x)的分裂域，α₁、α₂、…、αₙ₋₁、αₙ为域P中f(x)的根，任取c∈R，构造P中的元素(i<j)，其个数为

，为奇数

依据这些值，构造多项式

我们考察g(x)的系数，它是的对称多项式，再由定义式，g(x)的系数是的对称多项式，由基本对称多项式定理和韦达定理，可得g(x)的系数是基本对称多项式的有理函数，由于f(x)是实系数，所以g(x)的系数均是实数，由归纳假设，g(x)至少有一个复根
由于c是任意实数，(i,j)对是有限的，所以可以得到两组式子和均是复数。更进一步可以得到，和均是复数，于是和是二次复系数方程的根，由事实1可得f(x)有复根。由归纳原理，命题对所有的自然数n均成立。证毕
对于上述证明，我们可以进一步抽象，得到一个抽象代数上的证明
证明7：设E/R是包含C的(x²+1)f(x)的分裂域，因为实数域R的特征为0，所以E/R是伽罗瓦扩张，故有伽罗瓦群G=Gal(E/R)，设，其中k≥0且m为奇数。由西罗(Sylow)定理，G有阶的子群H，设H的不变子域为B=Inv(H)，由伽罗瓦基本定理可知，[B:R]=[G:H]=m，由事实2可知m=1，因此G是一个2-群(p-群(阶为素数阶的幂的群))，所以E/C也为伽罗瓦扩张，Gal(E/C)≤G为2-群且非平凡，由Sylow定理可知，存在阶为2的子群K，则对其不变子域有[Inv(K):C]=2，与实数1矛盾，故[E:C]=1，即E=C，所以C是R的代数闭包。证毕
读书百遍，其义自见，剩下的东西就留着去慢慢感受吧。