在这一篇文章中，我们将向着文章的最后目标进发，由此得到一个方程运用根式可解的判定准则。

根式可解的严格定义

数学是一门严谨的学科，定义都不清不楚的情况下进行证明，理论上来说是不严谨的，不过最原始的概念还是得依靠公理的。
定义1：设首一多项式f(x)∈F[x]，称f(x)=0在F上运用根式可解，如果存在F的某个扩域K满足以下条件：
(1)K包含了f(x)在F上的分裂域E，即F⊆E⊆K。
(2)K/F有如下根式塔
F=F₁⊆F₂⊆…⊆Fₙ₋₁⊆Fₙ=K
其中每个，，i=1,2,…,n，即是纯扩张，我们顺便把自然数集{n₁, n₂, … , nₙ₋₁, nₙ}称为此根塔的根次数集。
这个定理看似十分的繁琐，但其实是在说明，运用根式可解等价于，方程可以化为xⁿ-a=0的形式。这符合我们的基本认知，加减乘除是域本身的基本运算，我们平方的逆运算来扩张基本域，这样分裂域中就只有加减乘除和开根号了，即根是由系数的四则运算和开根号组成。
在定义中，我们并没有强制要求E=K，这是因为，分裂域E一定是F的正规扩域，但K是由条件(2)所定义的纯扩域，而纯扩域不一定是正规扩域。

单位根的地位

在方程与纯扩张关系中，最纯粹的莫过于单位根方程xⁿ-1=0了，至于它的根和性质，我们之前在尺规作图中说过，现在我们将从群论的观点来看待它。
定理1：设n是某个确定的自然数，域F含有n次本原根ω。
(1)任取a∈F，a≠0。如果E是f(x)=xⁿ-a在F上的分裂域，则Gal(E/F)必是m阶循环群，且m | n。
(2)如果E是域F的这样一个伽罗瓦扩域，使得Gal(E/F)是n阶循环群，则必定存在d∈E，使得=a∈F，且E=F(d)。

证：(1) 由之前讨论可知n次单位根群Uₙ=<ω>是n阶循环群，记G=Gal(E/F)，则我们可以建立G到Uₙ的同态映射来完成证明。
记，则f(x)的根为r、ωr、ω²r…ωⁿ⁻¹r(注意本原根和单位根的区别)。因为ω∈F，所以f(x)在F上的分裂域是 E=F(ω,r)=F(r)，故对任意σ∈Gal(E/F)，由σ(r)的值完全确定。因为Gal(E/F)中的元素将f(x)的根映射为f(x)的根，所以每个元素σ∈Gal(E/F)，可以表示为，i=1、2…、n-1。
建立映射Φ：G→Uₙ，元素对应关系为。任取元素、则，

故Φ确实是G到Uₙ同态映射，更进一步，由于在Uₙ中各不相同，所以Φ是一个单射，即G同构于Uₙ的一个子群，故G是循环群且|G|整除n。
(2)因为E是F的伽罗瓦扩域(有限正规扩域)，所以可设E=F(θ)。由已知条件，不妨设G=Gal(E/F)=<σ>={e, σ, … , σⁿ⁻¹}，σ是G中的n阶元，再定义，0 ≤ i ≤ n-1，θ₀=e(θ)=θ，在E中构造如下的n-1个数

，i=1、2 … 、n-1

首先d₁、d₂ … dₙ₋₁不全为0(加群中的单位元)，否则我们添加单位根方程
0=1+ω+…+ωⁿ⁻¹
我们可以得到一个以(1, ω, …, ωⁿ⁻¹)为非零解的n元齐次线性方程组，故其系数矩阵应该为零[一个范德蒙行列式，注意以下证明的前提都是域的特征为零]

故至少存在一对i≠j使得，这显然不可能。故至少存在某个，记为d，故有

注意

多次计算可得σ(dⁿ)=dⁿ，因为G=<σ>，所以dⁿ属于G的不变子域，不妨记a=dⁿ∈F=Inv(G)，我们构造出了d，接下来只需证明E=F(d)。
首先，显然有F(d)⊆F(θ)=E。由于σ(d)=ω⁻¹d∈F(d)和σ∈Gal(E/F)，所以σ∈Gal(F(d)/F)，又因为G=<σ>， [注意这里表示子群]，故
[F(d):F]=|Gal(F(d)/F)|≥|G|=[F(θ):F]
所以E=F(d)=F(θ)。

这个定理主要告诉我们，根号扩域(纯扩域)与循环群之间的联系，而这个纯扩域正好又是运用根式可解定义中的一节，如果全部组合起来，可能会有意想不到的结果。
定理2：这任意一域F，f(x)=xⁿ-1在F上的分裂域为E，则Gal(E/F)必是交换群。
这个没什么好说的，运用之前证明的思路进行构造，即可证明。

必要条件

定理3：设域F，多项式f(x)∈F[x]的伽罗瓦群为Gal(f)，如果f(x)=0运用根式可解，则Gal(f)是伽罗瓦群。

证明：由已知可以得到存在根塔
F=F₁⊆F₂⊆…⊆Fₙ₋₁⊆Fₙ=K，E⊆K

，，i=1,2,…,n，E是f(x)的分裂域。我们可以构造K的正规闭包K⁺，使得K⁺满足条件的同时还是F的伽罗瓦扩域，不失一般性，我们直接将其认为是K。

取根次数集{n₁, n₂, … , nₙ₋₁, nₙ}中所有数的最小公倍数，记为n，并取n次本原根ω，我们定义新的域 i=1,2,…,n，因为

，所以我们可以得到一个新的根塔

F=K₀⊆K₁=F₁(ω)⊆…⊆Kₙ=Fₙ(ω)=K(ω)
因为K是F的伽罗瓦扩域，所以K是某个多项式g(x)∈F[x]的分裂域，因为ω是n次本原根，所以K(ω)是g(x)(xⁿ-1)在F上的分裂域。即K(ω)是F的伽罗瓦扩域，由包含关系进一步可得K(ω)是的伽罗瓦扩域，不妨记，由伽罗瓦基本定理可得，，我们有伽罗瓦对应图

因为K₁=F(ω)是xⁿ-1在F上的分裂域，所以Gal(K₁/F)是交换群，对任意i(1≤i≤n)，是纯扩张，由定理1可得，是交换群[循环群必是交换群]，是正规扩域。由伽罗瓦基本定理可得，是的正规子群，且是交换群，所以是可解群，接下来我们需要把性质引到分裂域E上面去，首先有伽罗瓦对应

因为E是F的正规扩域，所以是H₀的正规子群，且f(x)的伽罗瓦群G=Gal(E/F)≌，因为H₀是可解群，所有H₀的商群G也是可解群。

仔细一看，证明的过程实际就是，在整条链上不断应用定理1所得的结果，伽罗瓦对应保证了，整条链上的每个域与伽罗瓦群可以一一对应。虽说定理并不充分，但反过来看，已经足够进行不可运用根式解的判定了，因为一般n(≥5)次方程的伽罗瓦群同构于不可解群Sₙ，所以可以得到。
Ruffini-Abel定理：五次及以上的一般多项式方程没有根式解。
由于四次及以下方程，我们都已经找到了求根公式，所以我们最开始的目标已经达成，值得注意的是，Sₙ(n≥5)存在可解子群，所以特殊的五次方程是可以存在根式解的，不过这个需要充分条件来确定这个事实。最后，我们给一个有用的判定定理。
定理4：设f(x)∈Q[x]是一个素数p次不可约多项式，如果f(x)有p-2个实根，这f(x)在Q上的伽罗瓦群同构于。此时若n≥5，则f(x)运用根式不可解。

充分条件

定理5：设F是特征为0的域，多项式f(x)∈F[x]的伽罗瓦群为Gal(f)，如果Gal(f)是伽罗瓦群，则f(x)=0运用根式可解。

证明：设f(x)在F上的分裂域为E，G=Gal(f)=Gal(E/F)，|G|=n，则G是可解群，且[E : F] = n，选取n次本原根ω，类似之前做法将其添加到域里面
F=F₁ ⊆ F(ω)=F₂ ⊆ E(ω)=K
容易得到f(x)在F₂=F(ω)上的分裂域是K=E(ω)，F₂是F₁=F的纯扩张，所以我们只需找到F₂到K的根塔即可证明定理。因为G=Gal(E/F)是可解群，所以H=Gal(K/F₂)也是可解群(容易找到两个群之间的同态单射，然后利用可解群的子群也是可解群即可)，故存在H的合成群列

其中每个因子群都是素数阶循环群，1≤i≤r，且。因为K是F₂的伽罗瓦扩域，所以可以建立伽罗瓦对应

同时还可以得到和≌
因为是阶循环群，由定理1可以得到，存在使得，且有。
自然我们就得到了所需的根塔，根的次数分别为，且K=E(ω)包含了分裂域E，故f(x)运用根式可解。

或许看完证明的你，觉得好像也没什么新奇的东西，就是前一个定理的逆过程而已，甚至感觉不到域的特征为零有什么用。我们记特征为p的域为，其中q=pⁿ，特别n=1时，记为，则有下面定理。
定理6：设p是素数，域K=，则f(x)=在K上的伽罗瓦群是p阶循环群，而f(x)在K上不是运用根式可解的。

尾声

终于，我们达成了最开始的目标Ruffini-Abel定理，但是到现在全都是抽象理论，所以下一节我们将看看这个理论是否由一定的使用价值，具体尝试解一些方程，来终结这部分内容。