数学探索之多项式与方程其三
伽罗瓦的成功之处在于，将群和域这两个看似无关的东西进行了联系，在这一部分，我们来稍微看看所谓的对应是什么。
域的回顾
在开始正题前，我们来稍稍地回忆一些有关域的一些概念，域的内容主要集中在域扩张上。如果扩域可以基于基域形成有限线性空间，则称为有限扩张，其维数则称为扩张的次数，类似于群中的指数。在域上定义多项式，通过多项式的根定义域上的代数元，由添加一个代数元即可得到单代数扩张，多个的话直接叫做代数扩张。然后直接证明，代数扩张都是单代数扩张，单代数扩张等价于有限扩张，到这里这几种扩张的结构基本清晰。于是又开始研究其它扩域，如包含方程根的最小扩域——分裂域，要么包含所有根要么不包含根的正规扩域。前者是用来证明相关定理的有力工具，还能与正规扩域建立等价关系。我们将有限正规扩域称为伽罗瓦扩域，而这即是我们本节研究的重点了。
小小性质
伽罗瓦扩域虽说定义简单，但还是有些值得讨论的东西。设E是F的有限扩域，则由定理可知，E必是F的单代数扩域，于是可以找到这个添加元的最小多项式，在此基础上，我们可以得到多项式下的分裂域E⁺，它是E的扩域，也可能是E本身，再由定理可知，它一定是F的正规扩域，我们可以把E⁺称为E的正规闭包。
这样的事实可以加深对正规扩域的理解，无限正规扩域其实还是存在的，如基域是Q，将所有代数元都添加到Q中得到的域记为F，从Q到F的过程是无限次有限扩张，研究的意义不大，所以我们更关注有限正规扩域，从某种意义来说，正规扩域可以直接认成伽罗瓦扩域。
在上述过程中，我们可以得到一条扩张链F⊆E⊆E⁺，其中E⁺是F的正规扩域，由定义容易得到E⁺也是E的正规扩域，但E不一定是F的正规扩域，也就是说正规扩域并没有传递性。我们的讨论主要为了，让正规扩域和正规子群产生一定的联想，这两个过程虽然是反着的，但有着极其类似的“加细”操作和非传递性。
伽罗瓦群
接下来进入我们的正题，如何将群和域进行联系？它们的起点是如下定义的自同构。
定义1：域E到E自身的同构满射称为E的自同构，E的自同构全体关于映射乘法成群，称为E的自同构群，记作Aut(E)。
自同构群及其子群其实有很广泛的应用，比较著名的是克莱因在爱尔兰根纲领提出的通过几何变换群来区分几何的思想，而那些群其实就是几何空间域中自同构群的子群。
定义2：设E是F的扩域，则以下自同构的子集
Gal(E/F) = {σ | σ∈Aut(E),σ(a)=a,∀a∈F}
是Aut(E)的子群，称为扩域E/F的伽罗瓦群。
与上面类似，我们可以定义F上多项式f(x)的伽罗瓦群为Gal(f)=Gal(E/F)，其中E是F关于f(x)的分裂域。Gal(f)有个极其重要的性质，Gal(f)的每个元素可以将f的根映射为f的根，再加上伽罗瓦群保持基域元素不变的特性，不难猜出满足这样的映射个数应该是有限的，确实我们有如下定理。
定理1：| Gal(E/F) | = [ E : F ]
这个定理其实变相地告诉了我们，只要完成了E在F上线性空间中的基的变换，就可以确定整个自同构了。对于域扩张E/F，我们研究的往往都是有限维，所以决定伽罗瓦群的实际就是几个对有限基的变换，我们发现这与置换群Sₙ十分的类似，确实我们可以得到如下定理。
定理2：设f(x)是F[x]中的n次无重根多项式，则f(x)在F上的伽罗瓦群Gal(f)同构于n次置换群Sₙ的某个子群。
这个定理，只要找到同构映射即可，找法可以通过定理1和对根的特性来完成。数字系的方程，往往通过直接算出根来确定伽罗瓦群，而我们的目标是一般代数方程
因为
所以f(x)的伽罗瓦群是
再运用之前建立映射的方式，我们可以得到一个一般性的定理。
定理3：n次一般多项式的伽罗瓦群同构于n次置换群Sₙ。
一般二字其实十分的重要。
伽罗瓦对应
接下来该进入最后部分了，即伽罗瓦理论的基本定理。
设域E的任一子域F，则可由F唯一确定E的自同构群Aut(E)的一个子群
Gal(E/F) = {σ | σ∈Aut(E), σ(a)=a, ∀a∈F}
记E的子域全体为
σ : F → Gal(E/F)
反过来，对Aut(E)的任意一个子群G，可以确定E的一个子域
Inv(G) = { a | a∈E, η(a)=a, ∀η∈G }
我们把Inv(G)称为G的不变子域，还可以定义
τ : G → Inv(G)
我们把σ和τ称为伽罗瓦映射。伽罗瓦映射的简单性质没什么好说的，比较有用的是特殊域扩张下的伽罗瓦映射。
定理4：设E/F，E/F₁，E/F₂都是伽罗瓦扩域，则
(1)Inv(Gal(E/F))=F；
(2)F₁⊇F₂⇔Gal(E/F₁)⊆Gal(E/F₂)。
在这个定理里，我们看到了伽罗瓦扩域与其它扩域的区别，此类扩域与不变性有着密切的关系。下一步，我们自然很想要得到逆过来的情况，但与伽罗瓦群不同，对不变子域我们还没有多少研究，所以我们需要一个引理来进行下一步的证明。
Artin引理：设任一域E，G是Aut(E)的任一有限子群，F=Inv(G)，则[E : F] ≤ | G |。
这与伽罗瓦群的定理1是类似的，你可能会在意为什么这里是不等号，在证明中可以发现，证明次数大小的核心是寻找线性无关的基，同时因为有限的关系，最后只能判断线性无关基不超过某个值，而得不到具体数值，最后我们终于可以证明定理4的相反情况了。
定理5：设E是域，G，G₁，G₂都是Aut(E)的有限子群，则
(1)Gal(E/Inv(G)))=G；
(2)G₁⊇G₂⇔Inv(G₁)⊆Inv(G₂)。
只要有限子群就可以了，其实不必因此感到惊讶，因为自同构本身就是倾向于映射的，不变子群也是同样的情况，所以映射所代表的群不会像域那样有很多限制。我们由此可以得到一个有用的推论，域E必是关于域E自同构群的有限子群的不变子域的伽罗瓦扩域，即∀有限群G∈Aut(E)，E必是Inv(G)的伽罗瓦扩域。
选取伽罗瓦扩域E/F，记G=Gal(E/F)，定义集合
S₁ = { H | H是G的子群 }
S₂ = { K | K是E的包含F的子域 }
这里我们一样可以看到之前所察觉不对称感，在S₁中最小的元素可以是单位元集{e}，但在S₂中最小的元素只能是F，下面是整篇文章的核心定理。
定理6：设E/F是伽罗瓦扩域，G=Gal(E/F)，则有：
(1) σ : K → Gal(E/K)是S₂到S₁的双射，
τ : H → Inv(H)是S₁到S₂的双射。
(2) S₁和S₂存在如下伽罗瓦对应：
①| H | = [ E : Inv(H)], [ G : H ] = [ Inv(H) : F ]
②H是G的正规子群⇔Inv(F)是F的正规扩域。
我们一般采取以下图来加深理解
这个定理的(2)②和上面黑字表出的推论是有区别的，看上图，E必是Inv(H)的伽罗瓦扩域，这属于之前就说过的东西，而(2)②则解答了我们之前对传递性的疑惑，而这部分也是我们最看重的部分，而对映射的描述只是为了加深我们对它的了解。通过(2)②，我们可以得到一个强力的同构关系，
结尾
有关抽象代数的东西，我们再稍微做点解释。群域环之类的东西，其实和数字123…之类的东西十分像，不论是一颗树还是一本书，从加法运算的角度，我们关心的只是1，和它的性质1+1=2，而对是树还是书其实并不感兴趣，所以从数字的角度来看，一棵树和一本书其实可以看成同一种东西，在树和书上建立的数系性质是一样的，或者可以称它们是同构的。拿群来举例，群其实是由集合和映射两部分组成，它关心的是映射有结合律，有单位元，有逆元，至于映射是加法还是乘法并不是我们关心的，我们只关心拥有上面三种性质映射的性质。同样的如果两个群在映射的表现下基本类似，可以建立一一对应的关系，我们就称两个群是同构的，而从某种意义来说，它们可以看成同一个东西。