数学探索之多项式与方程其二

伽罗瓦理论最重要的基础是群和域，通过前面的内容，我们已经了解了域的扩张和域的简单分类，所以这部分主要的内容是了解群的一些比较重要的内容。至于群是什么，子群和同构之类的简单内容就不过多赘述了。值得注意群最好的对应，不是加减法，而是集合的映射。

陪集

设H是G的子群，任取，记

则称这个集合为H在G中的一个左陪集。

同样的我们有右陪集。在通常的情况下，左右陪集不一定相同，但我们可以很容易地发现，陪集互不相交且正好覆盖父集，即H在G中的所有陪集是G的一个划分，同时更近一步可以得到以下定理。
拉格朗日定理：设G是n阶群，H是G的m阶子群，则m必整除n。所得的数n/m称为H在G中的指数，记为[G:H]=n/m。
这个定理就是通过陪集划分的性质得出来的，从中我们还可以引出一系列的推论，如，H在G中左右陪集个数相等且均等于H在G中的指数，陪集中元素的个数与H相等。需要注意，这个定理对有限群一定成立，但无限群可能就会有很多奇怪的情况了，最后给一个十分显然的指数公式。
定理1：设K≤H≤G是三个群(若不加说明，对于群来说，我们使用K≤H表示，K是H的子群)，且G是有限群，则有

循环群

在群内我们定义了一种运算，为了方便不妨直接称为乘法，同时我们将同一个元素a自乘n次，称为a的n次幂，记作aⁿ。为了完善运算我们进一步定义，a⁰=e、a⁻ⁿ=(a⁻¹)ⁿ，其中e是群的单位元，a⁻¹是a的逆元。容易验证这种运算与我们平常的幂运算有类似的法则，对加法群而言，乘法就是它的幂运算。

对于a∈G，使得aⁿ=e成立的最小自然数n称为a的阶，并称a是G的(有限)n阶元。若只有n=0时才有aⁿ=e，则称a是无限阶元。容易得到，单位元e一定是1阶元，整数加群中的非零数都是无限阶元，有限群的元素都是有限阶元。设G是群，如果对任意a，b∈G都有ab=ba，则称G是交换群，也可以叫做Abel群。

定义1：若群G中的每一个元素都是G中某个固定元素a的整数幂aⁿ，则称G是由a生成循环群，记为G=。此时，称a是G的一个生成元。
对于n阶有限元a生成的循环群，我们很容易发现它可以同构于我们之前讲的模运算集(它必定是一个整环，所以包含了加法群的成分)上的加法群，同时还可以得到，循环群必定是交换群。最后再提醒一遍，我们称加法群和乘法群只是为了便于区分它们之间的运算，同时表明可以将它们进行类比思考。最后，再说一个循环群的重要性质。
定理2：设G=是循环群，则G的任一子群H必是循环群，m是某个整数。特别地，若|G|=n，则m必整除n，且是G唯一的n/m阶子群。
由这个定理可以导出许多有用的推论，如素数阶群必是循环群、n阶循环群中生成元的个数恰好是欧拉函数φ(n)的值。

正规子群

对于群来说，一般的子群得不到什么有趣的性质，所以我们决定加一些性质，或许就不一样了。
定义2：设H是群G的子群，如果对任意的h∈H和g∈G，都有g⁻¹hg∈H，则称H是G的正规子群，记为。
为了称呼方便，我们再定义一系列东西。
容易验证也是G的一个子群，记为g⁻¹Hg，并称其为H在G中的一个共轭子群，g⁻¹hg称为h在G中的一个共轭元。显然交换群的所有子群都是正规子群，而对于其它的群我们有一下的等价命题。

由于定理3的(2)，所以我们也称正规子群为自共轭子群。对于正规子群还需要注意的是，正规子群没有传递性，如对于置换群(在最后我们会介绍一下)的3个子群，我们可以得到和，但是H并不是的正规子群。再提一个简单的性质G的指数为2的子群必是正规子群。正规子群的目的是导出下面的定理，从而引出商群的重要概念。
定理4：设N是群G的正规子群，定义

和陪集的运算(aN)(bN)=(ab)N，则G/N关于此运算是一个群，称其为G模N的商群。特别当G是有限群时，商群的阶

设Z是整数加群，<n>为由n∈Z生成的循环加群，因为Z是交换群，所以<n>是Z的正规子群，于是我们可以定义商群Z/<n>，它是n阶循环加群，实际上，我们之前的模n运算集可以由商群来定义，。最后再说明一下循环群的厉害之处，有以下定理。
定理5：设是一循环群，是G的子群，其中m是N中元素的最小幂，则G/N必是m阶循环群。

单群

对于任意群G，显然G和{e}不仅G的子群，还是G的正规子群，我们将其称为G的平凡正规子群。
定义3：若G除了平凡正规子群外，不存在其它正规子群，则称G为单群。
有关单群我们先介绍一个十分重要，且经常用到的性质。
定理6：有限交换单群的必是素数阶群，素数阶群必是交换单群。
换言之就是，交换单群等价于素数阶群，其实从这里可以知道，单群在群中的重要之处，如同素数在自然数中的作用，实际上有限群的分类标准就是单群，只不过那是更加深刻的一个定理，而真正指出单群可以作为比较有用的群因子的是Jordan-Holder定理，过一会我们再介绍它。

置换群Sₙ

有了上面的知识储备，实际上已经可以进入我们目标所需的核心内容，可解群的学习了，通过上面的内容，我们对群的分布及子群结构有了较为深入的理解，也看了如Z和Zₙ这样的例子，但是这样的例子过于优秀了，它们不仅是加法群，还是交换群，所以我们还要认识一点其它的例子才行，比如置换群，这个群对我们以后内容的学习也有极其重要的作用。
定义4：设n个元素的集合S={1,…,n}，S上的所有一一变换(即S到S的双射)构成集合Sₙ，定义映射的复合为Sₙ上的乘法，则Sₙ构成一个群，我们称其为S上的n次置换群。
其实S中的元素是什么并不重要，我们用自然数只是为了书写的方便而已，容易验证|Sₙ|=n!，即Sₙ是n!阶群。Sₙ中的元素都可以写成以下的形式，

其中表示映射作用下的像，是1,2,…,n的任一排列。由于上面这种表示过于繁琐，且上面部分都是一模一样的，在不引起歧义的情况下，我们将每个置换简记为一系列轮换的积，例如在S₄中，有轮换1→2→4→1，箭头前后表示映射的对应关系，于是我们可以将这个元素简记为(1 2 4)或(1 2 4)(3)，S₄中的单位元素也可以简记为(1)或(1)(2)(3)(4)，前面一种虽然简单，但是不能区分是几次置换群的元素，虽说效果似乎差不多就是了。
引入新的记号以后，置换的运算也会变得更加简单，例如在S₆中，

我们在这里采用的运算是从左到右，其它教程都爱采用从右到左的运算，主要因为他们是从映射的角度来看待置换，而我们其实只关心置换间的运算，两个方式其实是等价的。上述置换的计算过程如下，1→4→2，2→3→5，5→6→6，6→2→3，3→1→1，在置换中没有写出的即表示不变。由轮换这个叫法和其意义，我们可以得到一个简单的性质，

我们用表示映射关系：

并称为一个k-轮换，特别地，我们称2-轮换(i j)为对换。每个轮换都可以写成若干个对换之积，具体做法如下，

虽说分解并不唯一，但多次实验后可以发现，轮换个数的奇偶性不变，于是有如下定义
定义5：若置换可以表示成偶数个对换之积，则称其为偶置换，否则，称为奇置换。
容易发现偶置换的运算具有封闭性，且关于此运算正好构成一个群，所以n≥2时，将Sₙ中所有偶置换构成的群记为Aₙ，称为n次交错群，它总共有n!/2个元素，由于[Sₙ:Aₙ]=2，所有Aₙ一定是Sₙ的正规子群。接下来，我们具体来看一看这些群的性质吧。
对于S₁只有一个元素——单位元，没有什么值得说的。S₂和S₃都只有一个非平凡正规子群A₂和A₃，这可以直接从拉格朗日定理推出，同时A₂和A₃还都是交换单群，这些都比较简单，稍微特殊的是S₄，|A₄|=12，因为A₄不是交换群，所以A₄可能有6，4，3，2元子群。验证后，我们发现两个比较重要的群，分别是克莱因四元群

不知名的群

至于三元群其实有的，和A₃一样，但保持4不变

上面这个群不能和其它子群形成正规关系，从这里我们也能意识到正规子群的重要性，对于S₄我们可以得到

[受限于符号系统，我们规定表达和一样的意思]
但S₄以后就不太一样了，我们有以下定理
定理7：当n≥5时，Aₙ是单群。
也就是说当n≠4或n≠1时，都有

至于定理7的证明，主要通过两个特殊的3-轮换(ilj)和(jkm)来实现的，通过归纳证明正规子群可以不断包含Aₙ的所有3-轮换，这样就与最小正规子群{e}不包含3-轮换相矛盾，而上述两个轮换存在的话，正好要求至少要有5个不同的元素，所以5的特殊性正是来自这里。
其实我们已经认识了有限单群分类中比较重要的两个：素数阶循环群(即交换单群)和Aₙ(n≥5)，而S₁、A₂、A₃和H本质上其实还是交换单群，至于非交换单群，除了Aₙ(n≥5)其实还有很多，我们以后再来说吧。

可解群

从上面的各种分析可以知道，知道一个正规群列对了解群的性质有着很大的帮助，而这也是我们本篇文章最重要概念的开端了。
定义6：群G的如下子群的有限长序列

称为G的一个正规群列，相邻两群的商群称为这个正规群列的因子群(i=0,1,2,…,r-1)，{e}是G的单位元群。
定义7：如果群G存在某个正规群列，且它的每个因子群都是交换群，则称G是可解群。
由交换群的性质，我们可以很容易地得到任意交换群都是可解群。由之前对Sₙ的分析我们可以知道，S₂、S₃和S₄必是可解群，因为它们的因子群的阶数都是素数，所以必是交换群。而对于n≥5，之前所给的群列显然不符合要求(Aₙ/{e}=Aₙ不是交换群)，由于我们不知道上面所给的正规群列是否唯一，所以我们不能轻易地下判断，我们需要更加详细的判定定理。
定义8：每个因子群都是单群的正规群列称为合成群列。
你可以想象正规群列相当于一个不完全的分解，而合成群列则是一个更加完全的分解，我们可以由下面两个定理来说明这件事。
Schreier定理：有限群的任意一个正规群列都可以加细为合成群列。
所谓的“加细”操作，就是在相邻两个群之间再插入一个群，使得新插入的群与前后形成正规关系，这样操作的存在性可以由群的同构定理得到。
Jordan-Holder定理：任一有限群的所有合成群列的长度都相等，且它们的合成因子在不计顺序意义下对应同构。
这两个定理合起来说明了，有限群存在唯一的合成群列，最后我们可以由此得到一个判定可解群的有效定理。
定理8：有限群G是可解群存在G的某个合成群列，其每个因子群都是素数阶群。
这个定理正反使用的都是存在，也就是说证明不可解群时，我们可以找一个合成群列，说明它的因子群有一个不是素数阶即可，证明过程主要结合了前两个定理和素数阶群与交换单群的等价性。直接使用我们之前所给的正规群列，它也是合成群列，可以得到。
定理9：当n≥5时，Sₙ和Aₙ都不是可解群。
对于合成群列中的每个，其实是包含了元素最多的正规子群，所以也称是的极大正规子群，最后我们再给一个比较有用的东西。
设G是任意一群，任取a，b∈G，记[a,b]=a⁻¹b⁻¹ab，称为a与b的换位子。就如它的名字那样，我们有ba[a,b]=ab，交换了元素乘积的位置，这就是它名字的由来。在此基础上，我们进一步定义，

这样的D(G)可以成为群，我们称D(G)是G的换位子群(或导群)，进一步我们还能证明D(G)是G的正规子群，但值得注意的是D(G)有可能等于G，比如A₅。
定理10：设G是群，D(G)是G的换位子群，则
(1)G/D(G)必是交换群；
(2)若N是G的使G/N是交换群的正规子群，则N⊇D(G)。
这个定理说明了，群的换位子群是使得商群是正规子群的最小正规子群，换言之就是，如果一个群的换位子群是它自身的话，就不可能再找到一个正规子群，使得与它形成的商群是交换群了，我们由一下定理说明此事。先定义D¹(G)=D(G)和Dⁿ(G)=D(Dⁿ⁻¹(G))，由此得。
定理11：群G是可解群存在自然数n使Dⁿ(G)={e}。
由换位子群的相关性质，我们可以得到属于可解群的一些优秀性质。
定理12：可解群的子群和商群必是可解群。

收尾

在这一节中，后来内容中最需要的其实就只有合成群列和定理9。不过更重要的是，我们可以通过这节内容对群的组成结构有了一个清晰的认识，而且还认识了有限单群分类中比较重要的两种：素数阶循环群和次数不低于5的交错群。