数学探索之多项式与方程其一
从今天开始我要开一个数学新坑，我们最后的目的是证明，一般5次及以上的一元多项式方程的没有根式解。按照最开篇的理论，我只会给出证明的脉络及所需要的定理，而不会给出详细的说明。在我的观念里，需要了解证明不外乎两种情况，一是对证明存在质疑，二是证明存在奇妙的手法。而目标的核心在于伽罗瓦映射，属于伽罗瓦理论的基本定理，所以不给证明也是无关紧要的，实在想知道的话可以去找，科普的，学术的，都有很多。
素域
想了解伽罗瓦理论，需要稍微有些群和域的知识，至于环其实是无所谓的，对于代数结构，组成都是两部分，集合本身和定义在集合上的二元运算，群包含一种，可以类似的称为变换，域包含两种，可以类似的称为加法和乘法。
基本内容
定义1：如果一个域F不含真子域，则称F是素域(或最小域)。
对于域的基本操作是扩张，反过来即是找子域，如同自然数中找素数，我们也在域中找最小的域，即素域。对于域，同时包含加法群和乘法群，我们要时刻注意，在抽象代数里，我们使用有类似性质的东西来称呼它，并不代表它们是同样的东西。对于这两个群，都有单位元，为了以后称呼的方便，我们直接记为0和1，同时把运算分别称为加法和乘法。
定义2：对于域F，如果p个1相加等于0，且p是最小的，则称p为域的特征。若不存在符合条件的自然数p，则称F的特征为0。
我们选取域中特殊元素的性质来作为域的特征合情合理，而我们的目的主要是为了将域进行分类，以便于我们了解域的基本分布情况。
几个素域例子
设Q是有理数域，则我们有以下定理。
定理1：Q是特征为0的素域。
这其实是十分显然的东西，比如1怎么也加不到0，且如果要对加、乘、加逆元(减)和乘逆元(除)封闭的最小数集是有理数。
对于自然数n>1，我们来定义一种自然数的模n运算，设不超过n的自然数x和y，定义x+y除以n的余数为x和y的模n加法，xy除以n的余数为x和y的模n乘法，显然这样的运算是封闭的，为了将这些特殊运算的数与一般自然数进行区分，我们将它们记为，[0]、[1]……[n-1]，共n个元素。举个例子，当n=4时，[2]+[3]=[1]，[2][3]=[2]等。学过数论的可能发现这与关于n的完全剩余系十分类似，确实可以这样对应来理解，我们将其记为
定理2：若p是素数，则
实际上，这两个域分别代表了有无限域和有限域，已经足够对域进行分类了。
完成域的分类
定理3：任意域包含且只包含一个素域，任意域都是一个素域的扩张。
这个定理最重要的部分是说明，任何域所包含的素域是唯一的，所以以最小子域来代表这个域是合理的。
定理4：域的特征只能是0或素数。
定理5：设F是一个域，当F的特征为0时，F包含一个与Q同构的素域；当F的特征为素数p时，F包含一个与
至此，我们成功地通过特征完成了对域的分类，与此同时还可以通过素域找到相应的同构域来进行分析。
多项式基础
我们的目的是一元多项式方程，方程是函数值为0时自变量的值，多项式是特殊的一类函数，所以有必要稍微讲一些多项式的基本知识，注意，我们的多项式泛指一元多项式。
对于域K和不定元x∈K，将任意x和任意K中的定元，进行一系列加运算和乘运算所得的结果称为多项式，记为f(x)，当x=x₀∈K时，将对应的结果记为f(x₀)，由域的封闭性应有f(x₀)∈K，同时我们将所有f(x)组成的集合记为K[x]。K[x]可以成为K上的一个线性空间，K[x]的运算等价于域K中的运算，容易证明K[x]同构于可数无限维线性空间，其中1、x……xⁿ、……为一组基。所以我们可以用这组基下的“坐标”来表示每一个多项式，而这组“坐标”就是我们通常所说的系数。总之把它当成我们通常所说的多项式即可，需要注意的是，多项式基于域K定义，若K的特征不是0的话，也要按模运算来计算系数。
由集合论的一些基本知识可以知道，任意的K[x]与自然数集N是等势的，即K[x]是可数的，K[x]中的多项式可以与根形成对应，换句话说，K上的代数数集与N等势，是可数的。同时，我们可以像N一样，定义K[x]上的整除和“素数”，但后者我们倾向于称为K上的不可约多项式，与N不同的是，K可以通过域扩张来使得不可约多项式在新的扩张域上可约，比如分裂域。同样的，K[x]上可以定义同余运算，对于模p运算，若p是素数，则K[x]关于模运算的商域同构于相应素域上的多项式。这里提了一个商域的概念，商一般是域关于一个等价关系形成的等价类所组成的集合，如模n运算，可以把整数分为n类，它们之间组成的新域，我们就称为商域。实际上，这些东西的建立还是很自然的，如果不想自己做的话，可以看相应的抽象代数课程。
本原多项式
因为标题有个多项式，所有虽然接下来的内容与我们的最后目标没太大关系，但还是得稍微说一说。
注意整数集Z并不是域，但可以形成整环，即乘法不一定有逆元，更近一步，对任意的n，
定义3：若Z[x]的一多项式f(x)，满足系数的最大公因数为1，则称f(x)为本原多项式。
然后就可以得到一个著名的引理。
高斯引理：Z[x]中的两个本原多项式的乘积仍然是一个本原多项式。
还有一个比较有用的定理，主要用于有理根的判别。
爱森斯坦因判别法：设f(x)=aₙxⁿ+……+a₁x+a₀∈Z[x]，若存在素数p，使得(1)
这两个定理可以通过多项式的同余来简便证明，接下来，我们再讲一个联系Z[x]与Q[x]的定理。
定理6：Z上不可约的多项式在Q上也不可约。
这个其实十分的明显，也是我们最开始把域多项式上研究转移到整环上的原因。其实多项式运算的研究没有多大意思，所以多项式的研究主要聚焦在根上，也有许多有趣的定理，如奇数次方程必有实根、傅里叶-布当判别法、笛卡尔符号法则、斯图姆判别法、卢斯判别法、胡尔威茨判别法等，不过这些东西意义都不大，下面定理这个才比较重要。
代数基本定理：C[x]中的任一非常数多项式至少有一个复根。
以域的观点来讲的话就是，复数集C是代数闭域，从代数角度来看，只研究到复数域就足够了，至于所谓的超复数，我们以后也可以稍微说一说。
多元多项式
类似一元多项式的定义，将未知元的个数扩充到n个就可以得到n元多项式了，并将其记为f(x₁,…,xₙ)，域K上所有n元多项式的集合记为K[x₁,…,xₙ]，然后就是一系列的类别定义，数学比较厌倦的就是做重复的劳动，对于共性我们只研究一个抽象结构即可，这是数学的核心思想之一，即等价。我们应当侧重研究多元多项式的特性。
定义4：对于n元多项式f(x₁,…,xₙ)，若任意交换两个不定元均不改变f，则称f为n元对称多项式。
其实还有齐次多项式、轮换多项式之类的概念，但用处都不大，所以我们就不管它了。对于n次方程f(x)=(x-x₁)…(x-xₙ)=0，展开可以得到方程xⁿ-σ₁xⁿ⁻¹+σ₂xⁿ⁻²-…+(-1)ⁿσₙ=0，于是有方程根的韦达定理：
对称多项式基本定理：对任意对称多项式f(x₁,…,xₙ)∈K[x₁,…,xₙ]，存在唯一一个多项式g(y₁,…,yₙ)∈K[y₁,…,yₙ]，使得f(x₁,…,xₙ)=g(σ₁,…,σₙ)。
换言之就是，任何对称多项式可以唯一地表示为初等多项式的一个多项式。这个定理证明实际就是我们平常转化的过程用数学归纳法严格写了一边，数字使用的是次数组成的字典序，从高到低一个个转化即可，最后再提一个有趣的公式。
记
这两个公式差别在于求和的上标，其实还可以更加的精简一些
这个公式也称为牛顿公式，其实作用不大，就是挺好看的。
结尾
如果真的只讲方程与多项式的话，到这里基本可以算结束了，最开始所说的域也不会有太多用处，但是如果只停留在当前的理论上，我们总有些无法证明的东西，比如5次的多项式方程为什么没办法像低次方程那样得到根式解。要解决这样的问题，也是我们接下的主题了，它是一条比较漫长的道路了，而这一篇只是预热而已。