实在没什么可写的了，但还是水一下这部分的最后一篇文章吧。在这里，我们稍微介绍一下一些特殊的欧式作图问题。

结构

欧式作图问题的主要结构有三个部分，初始图，作图工具和作图目标。求出所有的作图范围显然比单纯的作图目标更吸引人，所以说真正重要的只有前两部分，有关初始图形我们之前讨论过，它似乎用处不大，因此欧式作图的变形基本在于工具的不同，接下来我们就从这个角度来稍微看看吧。

单规作图

只用一把圆规作图。

结论是，除了连线可以做出所有尺规作图可以完成的图。虽然看起来有些不可思议，但如果仔细品读之前抽象的过程，就会发现尺子就是划线的，对于数域的扩张基本起不到作用。我们需要注意的是，点才是核心，而圆和线实际是可有可无的，除了产生交点，但直线能产生的交点都可以由圆产生。比如角平分线，我们可以只通过圆规来得到平分线上的点，但线的实体还是做不出来。

松规作图

用无刻度直尺和离开纸面就无法保持长度的圆规作图。

结论是，与尺规作图完全等价，实际上，长度迁移并非很重要的功能，在进行抽象化的过程中我们甚至没有使用过这个功能作为公理。我们可以更加明确的说，迁线可以直接通过圆的标点来实现，具体来说，就是通过过圆心的圆来实现长度迁移的功能。总之，可以想象一下，一个个圆互相推进的样子，我们只需圆心与圆上的点互换即可。

锈规作图

只使用半径固定的圆规和已知两个点作图。

我们不管直线之类作图的，首先两个点，我就认为它没有太大意义，就算没有，再做两个点也没啥区别。那篇论文可以找到，实际上，它删去了相似的情形，以两个点作为单位一，其实单纯圆规就能完成作图，但固定的半径不能为这个单位一，否则度量是无法谈及的，当然随便取两点，说它是单位一也没什么问题。总之，就是尺规作图也能只用圆规作图，我们并没有固定半径，实际上，固定半径圆规加两个点和单纯圆规是一模一样的。

单尺作图

只用一把没有刻度尺子和一个已知圆心的圆作图。

圆是必须的，不然对于一把尺子的话，是基本没有用处的，需要知道没有刻度的尺子等于没用，没有圆规等于没有度量信息，如我之前所说体现度量的不是直尺而是圆规，因为直尺是没有刻度的。而真正重要的其实是圆的圆心，有了它我们才能真正的只要直尺来，控制圆来模拟圆规的行为，因为圆规实际就是做圆，原来是圆找线，现在则是线找圆，这与锈规作图实际上是有一定的对偶性的。

结尾

这篇文章没有什么干货，只是稍微陈述一些事实，对尺规作图进行证明，关键在于你将尺规作图看做什么，又如何去定义它，而我并不认为它存在纯正的证明，因为它本身就是不纯正的。我一直将数学视为信仰，就如我之前相信尺规作图等价于域扩张一样，又或者是在射影空间里，将圆锥曲线视为同一东西，将点和直线视为等价。这是这系列的尺规作图部分的最后了，而这又是这个系列的开始，也是从实际到理论的过度，接下来的我将只活在数学的虚拟世界里，研究抽象的理论，实际问题即是我害怕的，也是我不想讨论的，不为其它，只因太累，我喜欢的是数学纯正的抽象，仅此而已。