尺规作图的路还有很长，接下来我们来讨论一下正n边形的作图问题，因为这个作图存在可作图的情况，如2ⁿ边形，所以我们要使用充要条件，不过这个充要条件不是很好用，所以我们要加点限制，引入一些新的概念。这时你可能会说为什么不先来排除一些简单的情况呢？然后转化为奇数的情况，我只不过想展示一下域论大法，又没想过要教人。

正规扩域

由之前的分析可以得知，我们依赖代数扩域(需要定义多项式)来导出作图问题，但作图问题的充要条件依赖的是纯扩域(只要域自身的运算)，为了联系两者我们需要伟大的伽罗瓦理论了，先来一些定义吧。
定义1：设有限扩张E/F，F(x)是F上的多项式，E是所有包含F(x)所有根的域的交(即最小)，则称E是F关于F(x)的分裂域。
定义2：设域扩张E/F，对于任意F上的多项式f(x)，若E要么包含f(x)所有根，要么不包含f(x)任何根，则称E是F的正规扩域。
定理1：设域扩张E/F，E是F的正规扩域当且仅当E是F上某一多项式的分裂域。
与代数扩张相关的是分裂域，通过此定理我们将火力转移到了正规扩域上，正规扩域依赖根的特性来定义，而对非根不变的特性有利于我们导出伽罗瓦群，正规扩域可以让其扩张的伽罗瓦群为可解群，由伽罗瓦理论中的一个定理可知，可解群对应域扩张中的运用根式可解，运用根式可解的定义是来源于纯扩张的(这部分与解方程相关，我们以后再谈)，这样我们就将纯扩张与代数扩张联系了起来，总结就是我们可以得到以下定理。
定理2：k∈R可由1尺规做出当且仅当存在正规扩张F/Q，满足[F:Q]=2ⁿ且k∈F，其中Q为有理数集。
注意这个定理，没有什么启发性的作用，它只用于告诉你一个事实，通过方程根导出的扩张，通过看次数来判断能否尺规做出的这个条件是充要的。

正n边形作图问题导出

初始集如往常一样是1，而目标数应该是边之间的关系，即角度，边本身都是等同的，所以做出角等价于做出正n边形，所以我们的问题是cos(2π/n)或sin(2π/n)能否由1尺规做出。当然这样直接看的话，是得不到结果的，转化为方程的根，才有利于使用我们之前的理论。这里我们稍微用一下复数吧，因为[C:R]=2且C/R是正规扩张，所以复数对作图判定基本没有影响，复数z可由1尺规做出当且仅当z的实部和虚部可由1尺规做出。
令，再由欧拉公式，我们可以推出z₀是zⁿ-1=0的一个根，于是我们的问题转化为，zⁿ-1=0的所有根能否由1尺规做出。我们强调所有，因为1也是它的根，而我们需要的其实是单位根ωₙ=z₀，而做出ωₙ则相当做出了所有根。

对单位根的研究

在解决问题前我们有必要研究一下方程zⁿ-1=0，学过复数的应该是否清楚，它的n个根其实就是1,ωₙ,…,ωₙⁿ⁻¹。在复数域上，分布于一个等分单位圆上，当然这些意义都不大，我们主要研究的是这个方程的分解问题。接下来的东西，我也不知为什么会这样，为什么要这么做，但它就是这么证明出来的。

本原根

接下来我们我们需要看每个根的循环群的阶是否为n，即每个根进行自乘，看能否遍历所有的根，比如ωₙ可以通过自乘遍历所有的根，但n=4时ω₄²=-1就不能通过自乘遍历所有的根，我们将zⁿ-1=0中能通过自乘遍历所有根的根称为n次本原根。我们容易得到n次本原根的个数为φ(n)，φ(n)是欧拉函数，表示与n互素的且不超过n的自然数的个数，在数论里我们有一些简单的性质。
性质1：若s与t互素，则φ(st)=φ(s)φ(t)。
性质2：若p是素数，则φ(pⁿ)=pⁿ-pⁿ⁻¹。
这样我们将n进行质因数分解后就能计算φ(n)了。

分圆多项式

设φ(n)个n次本原根分别为，则称

为n次分圆多项式。
然后这个有几个分圆多项式的重要性质，它们可以通过伽罗瓦理论的相关性质来严格证明，当然也可以进行非抽象的证明，不过在这里我们就简单的表述一下定理。
性质3：。
性质4：分圆多项式是整系数多项式且在Q上不可约。
由上面的两条性质就能完全掌握zⁿ-1=0的分解情况了，我们知道ωₙ是一个n次本原根，由上面的性质可以得知，是ωₙ的极小多项式，它的次数为φ(n)，故对于单代数扩张Q(ωₙ)/Q，有[Q(ωₙ):Q]=φ(n)。

问题的解决

终于进入最后的步骤了，通过对单位根的研究，我们可以将原问题转化为ωₙ能否由1尺规做出，即在n满足什么条件下，存在r使得。
首先对n进行质数分解，，其中为两两不同的奇素数，则

，显然不可能是2的幂，则只能为0或1，故关键在于为2的幂。这里有个简单的性质，若为2的幂，则为费马素数。所谓费马素数n，应满足n是素数且存在i有。
综上所述，我们可以得到最后的定理。
定理：正n边形可以尺规作图当且仅当且为两两不同的费马素数。

尾声

最后还要说明一点，就是我们的问题还没解决，目前已知前5个费马数(3,5,17,257,65537)是素数，虽然验证了大部分费马数不是素数，但仍然没有相关的证明来说明所有的情况，而这个必定超过了笔者的能力范围了，所以无法继续了，不过只要知道这些就足够了。