数学探索之尺规作图其二
这一篇文章，承接上一篇，为证明部分，只包含少量讲解，可选择性跳过。
域扩张
有关域的定义，我们不多讲，就记住它是定义了加法和乘法且单位元不等的数集即可。哦，还有域上可以定义线性空间和多项式。欧式做图问题的抽象核心是域扩张问题，我就点到为止不在多说了。为了能从理论角度考虑作图问题，我们需要稍微复习一下相关的域扩张理论。
有限扩张
所谓扩域原始定义是子域的反向称呼，但这样的性质太少，所以我们需要进一步约束。在域扩张E/F中，可以定义E为F上的线性空间。线性空间有三个要素：对于基域，我们可以定义为域F；对于加法，我们可以定义为域E上的加法；对于乘法，我们可以定义为域E上的乘法同时限制一个乘数在F中。
定义1：设域扩张E/F，若E作为F上的线性空间是有限n维的，则称E为F的一个n次有限扩域，并记[E:F]=n，否则称E为F的一个无限扩域。
有限扩域有一个比较重要的定理，我们直接给出，至于怎么证明，这不是我们讨论的重点。
定理1：若K为E的有限扩域，E为F的有限扩域，则K为F的有限扩域，且[K:F]=[K:E][E:F]。
这个定理说明了一个事实，有限扩域关系具有传递性，且可以计算维数。
代数扩张
前一种扩张考虑的是线性空间，那么这一次我们应该考虑多项式了。
定义2：设域扩张E/F，且a∈E，如果a是F上多项式的根，则称a在F上是代数的，否则称a在F上是超越的。
定义3：设域扩张E/F，若E中的每一个元在F上都是代数的，则称E是F的一个代数扩域。
第一个联系两种扩域的定理，但反过来还需要考虑。
定理2：若域E是域F的一个有限扩域，则E是F的一个代数扩域。
单代数扩张
我们先考虑代数扩张的一个简单情形，设域扩张E/F，且a∈E在F上是代数的，E中所有包含a和F的子域的交集称为F添加a得到的单代数扩域，记做F(a)。
单代数扩域与有限扩域的关系如下。
定理3：设F(a)是F的一个单代数扩域，且a在F上的最小多项式是n次的，则F(a)是F的一个n次有限扩域，且1,a¹,a²,…,aⁿ⁻¹是F(a)在F上的一组基。
定理4：F上的任意有限扩域E都是F的单代数扩域。
因为我们的多项式并不考虑次数为无限的情况，也就是说代数扩域与有限扩域存在着对应关系，这基本就能构成我们以后研究的重点了。最后我们可以提一下，单代数扩域的一个特例，即我们上一节提到的二次扩张，严格叫法为2型纯扩张。
定义4：设域扩张E/F，若E=F(a)，a∈E且aⁿ∈F，则称E为F的一个n型纯扩域。
你可能注意到了一件事就是扩域与扩张的叫法问题，扩张是一种行为涉及两个对象故写E/F，而扩域则是针对某个域故单独写出如E。不过懂就好，叫法不是那么重要。
尺规作图公理
注意有些人喜欢把这个称为定理，但那也是基于尺规作图操作的一些公理，在解析几何情况下推出来的，从抽象意义来说将其作为公理会更加合适。
公理：设初始数k∈域K，目标数d∈域D，则d可由k尺规做出则存在n使得[D:K]=2ⁿ。
在我们平常的欧式作图里，我们还应该添上条件K和D都是实数集R的子集。而实数集R中的最小域为有理数集Q，所以对于没有初始图形的问题，我们仍可以假定公理中的域K为有理数集Q。最后，我们还应注意一点，K是抽象结构中的域，而Q则是具体存在的有理数集。
三大作图问题探讨
有了上述的充分准备，我们终于可以来探讨所谓的三大几何问题的证明了。
倍立方
倍立方的初始集提供了单位长度和90度角，本质就是只提供了1，所以倍立方问题的形式表述为³√2能否由1尺规做出。³√2的最小多项式是3次的，所以[Q(³√3):Q]=3，所以³√2不能由1尺规做出。
从这里我们可以知道，明明有限扩张就能定义尺规作图问题，但为什么我们还要研究代数扩张。这是因为我们想要做的无理数是从多项式的根里推出了的，在此之上才能定义根式，所以自然就会关联到代数扩张。其实还有一方面是因为作图公理的推导，涉及多项式，且有代数扩张导出，只不过使用有限扩张定位表述更简洁罢了，这时可能有人会觉得这是否有放循环论证的错误。有关扩域的理论在抽象代数里就已经建立了，而我们只是将尺规作图问题绑定到特定的某些域扩张问题上而已，绑定之间的转化依赖的是域扩张理论自己就有的定理，所以问题是不大的。
三等分角
这个问题，依据提供的角不同，所提供的初始数是不同的，如90⁰和60⁰之类的，就相当于提供了1，但20⁰之类的就不是了，但是对于假命题，只要一个违例即可，所以我们证明60⁰不可三等分即可，进一步讲(之前的推导)即是8x³-6x-1=0的根能否由1尺规做出，尽管我们可以解出根，求最小多项式，最后算次数即可，但比较麻烦，所以我们尽量抽象出一个定理比较方便。
引理：若三次多项式没有有理根，则它的三个根都不能由1尺规做出。
有理根的判定等价于多项式在有理数域Q上是否可约的判定，而这个判断可以使用Eisenstein(艾森斯坦因)判别法。容易得出8x³-6x-1=0在Q上不可约，即没有有理根，所以8x³-6x-1=0的根不能由1尺规做出。
你可能觉得我写得也太简单了吧，但你需要记住数学探索这个系列的意义，只是记录我的所学，具体的证明都是可以百度查询到的，再写一遍真没啥意思，而我的目的则是整理思路，寻找可学习的地方。
化圆为方
对于这个问题，大多数人认为也是只给了个1，但如果将圆抽象为只有半径来说，确实如此，其实还因为有圆规工具的存在，使得只有半径可以单向的等价为只有一个圆，这个问题我们以后来讨论，总之我们问题的抽象形式为π能否由1尺规做出，我们不加根号的原因之前也解释过，以现在的话来说，两个扩域之间只差一个次数2而已。
这问的关键在于证明π不是有限次多项式的根，即证明π是超越数。更实际的说法是，π不能由多项式定义出，需要讨论的是实数域和实分析，这里可以找到π较原始的定义。π证明超越性的方法很多，但我可以肯定无法避免实分析，总之π是超越数，所以不能由1尺规做出。最后，我们给出两个比较常用的超越数判定定理，以供使用，至于怎么证明，自己找吧，记得先巩固实分析就行。
首先是联系三角函数和两个重要常数的欧拉公式：
Lindemann–Weierstrass定理：
假设π为代数数，因为
，与定理线性无关矛盾，所以π为超越数。
Gelfond–Schneider定理：若α,β为代数数，α≠0,1，β不为实有理数，则
注意上述定理都是建立在实分析的基础上，代数数和超越数界限明确，无需如代数的和超越的之类的抽象代数的名词。
尺规作图的充要条件
最后我们再说明一件事，我们所给的尺规作图公理，并非充要条件，但对于不可能问题，那个公理已经足够了，所以就没讲太多。不过作为严谨的数学爱好者有必要了解一下完整的作图公理，如下
严格作图公理：k∈R可由1尺规做出当且仅当存在域扩张列Qₙ/Qₙ₋₁,…,Q₁/Q都是2型纯扩张且k∈Qₙ，其中Q和R分别为有理数集和实数集。
这个充要条件实际说明了一个事实，次数为2的单代数扩域不一定是2型纯扩域。其实很容易发现一个事实，纯扩域的定义不依赖多项式，但可以通过定义多项式来说明纯扩域属于单代数扩域，至于反例嘛！我在实数域R里面没有找到就是了，不过从定义的角度来说两者其实还是有本质上的区别的。