数学探索之导言与尺规作图其一

导言

我想记录自己所学的数学并进行整理，其过程是以某一问题或定理为主线进行的。但是，我并不想单纯地去抄书，因为实在太无聊了。
我的大致计划是这样的，对于任何一个模块，我都会梳理其证明的主线，对于关键的步骤我也不会给出证明，而是试着以形象的方式去说明它，至于详细的证明其实到处都可以找到。我自己就有这样的体会，一本单纯由定义和定理组成的书，虽然内容丰富，体系严谨，但是对于一般人而言，真的只是从头读到尾的话，本质上除了记住几个名词，却什么也不懂。
我的理想是让所有有一定数学水平的人都理解，不一定要知道完全严谨的证明，因为我们是数学爱好者而不是数学研究者。至少可以百度到的东西都可以当做常识吧。
再者，我一定会写出符号，认识符号是真正理解数学的必须路径，一味的以科普为由而舍弃符号都是错误的普及方式。
最后，我想说一点，所谓的解释与形象说明都是一些主观的存在，其不一定十分准确，但如果能让人理解的话，目的就已经达到了。
然后开始我们美妙的数学探索之旅吧。

尺规作图

我想先以一个最简单的问题开始我们的旅途——尺规作图。我们先要排除中学那些单纯的作图问题，如画个角平分线，画垂直平分线啥的，主要是它们真的没什么好讲的。我们会将尺规作图的重心放在以下几个方面，1.三大作图，2.正n边形作图，3.特殊作图。这篇文章我们先讲一下第一个问题吧，首先我们给出答案，三大尺规作图问题(倍立方，三等分角，化圆为方)在通常意义下是不可能的。这里我们需要强调通常意义，数学是追求严谨的学科，尺规作图是什么，什么才叫不可能其实都比较模糊的，所以开篇就要把这个模糊的作图概念讲清楚才行。

作图问题分析

尺规作图可能性的条件其实一直都有，且为大众所知的：当且仅当确定所求元素的数能由已知元素做有限次有理运算与求平方根得出时，用无刻度的直尺与圆规作图才是可能的。我们都知道尺规应该能做出三种元素，点、线和圆，但那个当且仅当的条件却都抽象为了数，所以我们需要考虑的第一点是如何将图形与数进行等价看待。

点

在尺规作图中，点主要来自于已知点和取点和交点。首先取点具有随机性，比如我们不可能随便就在直线上取出一个e吧，随机取点固然有其作用，如画角平分线，但是它并非必要的，同时对理论研究作用并不大，其实它的核心矛盾点在于定性与定量的区别，在定性画图上，只要能得一部分即可，在这里即时选择，比如角平分线，实际上只要得到线上的任意一个点就足够了，这里的点有随机选择性，反应到作图中就是边上点的随机选择性了，但是我们发现因为最终点的自由度在一条线上，所以最初边上选点是我们也只有一个线上的自由度，即一边选了，另一边就只能由圆直接确定了。而已知点呢？如果只是孤零零的一个点，其实有没有似乎都没有区别，因为我们也可以随便取一个点，作用好像一样，点的作用需要依赖于坐标，或与其它点之间的依存，所谓坐标本质其实也能视为互相垂直的两条线加一个单位一标记点。交点其实才是点中的大头部分，首先它具有确定性，这就意味着它具有可计算性，在理论研究中，确定的东西往往都是比较方便的。

线

线其实在尺规作图中并非那么重要，两个点确定一条直线，也就是说，一条线实际是等价于两个点的，注意这里只是从生成的角度来考虑的，比如将现有图中的所有线都只取两个点，那么我们是可以复原所有线的。其实这正是无刻度直尺的作用，他将线与两个点画上了等号。其实我思考了一下等价的含义，点到线和线到点似乎不符合等价的定义，不过尺规作图是一个正向的过程，前者可以生成后者，我们把后者等价与前者其实问题不大。

圆

圆与线是同理的，两个点就可以生成一个圆，其中重要的工具是圆规。至此我们都在强调点的重要性，目的就是想说，在尺规作图里所有的作图问题归根究底都是点的作图问题，而直尺和圆规的作用在于生成某些具有特性的点。如直尺可以保持新点与原点的定斜率，圆规可以保持新点与原点的定距离。

点的刻画

既然点如此的重要，接下来就必需讲讲点的刻画问题，即点应该与什么等价。我这里多次用等价一词，但很多人可能会误解这个词，等价准确来说是某种意义上的等价，如白马黑马黄马之类的，如果我们不关心颜色，只关心物种的话，那么在这种意义上他们就是等价的。在数学上更倾向于将等价刻画为一种保持关系的映射，如群的同构。 回到我们的点，大部分人估计会将它和坐标进行等价，这其实确实是一种可观的方法，关键在于坐标系的建立问题，这里我们稍微提一个问题，就是我们的画图是在二维平面上的，再怎么说作图都是在纸上的。坐标系的建立，核心就两个部分，确定原点和单位一，其它部分都可以直接尺规生成，在坐标系中终于盼到了我们的数字了。实际上，原始的作图存在相似不变性，不论是做正N变形还是圆，它们都存在一个相似自由度，它的取值范围是整个实轴，这个自由度没有消除时，作图是有无限可能的，单位一实际上随便取的，如同我们之前讲的角平分线，坐标的意义正在于此。也正因如此我们就可以将点与数字进行等价映射了，研究的起点也由此展开。

点的可控性

一条直线上实际包含了所有实数，但并非说我们可以做出所有实数，这里需要考虑点是否在我们的控制内，可控点主要是已知点和交点，取点并不包含可控性，取点的主要作用在缩减自由度，比如单独是不能给出√3的，除非我们给出了单位一，取点则确定了一个新的单位一，并不能保证与原始点系的关系，所以它只能起缩减自由度的作用。从已知点和交点，实际上已经可以给出尺规作图的充要条件了，在其它书上的具体思路是这样的。尺规作图有如下三种步骤，1.已知两点做一条直线，2.已知两点(相当于圆心和半径)做一个圆，3.求两直线交点或两圆交点或一直线与一圆交点。然后通过坐标(建立坐标在于减少白纸的自由度提供一个基础的单位一)运算(即求交点)可以生成所有有理数和开方数，最后再实现几个基本例子加以说明，故得到最开始的定理。虽然对于大众来说这样好理解，也没有太大的错误，目的已经达到了，但是我们是专业的怎能止步于此。

角度问题

在严格定义尺规作图问题前，我们最后再讨论一个问题，就是关于角度的问题，角如果单存从表现上来看的话，就只是三个点而已，不过对于角我们还是得关心它的度量问题，有之前对点建坐标我们就可以知道度量在尺规作图里是很重要的，既然我们都知道了角可以用点表示，也就是说角的度量是可以转为点的度量的，其实也没什么好说的就是平面直角坐标系与极坐标的转化罢了，其核心正是我们的三角函数，也就是说角度可做等价于它三角函数所对应的数可做，至于sin还是cos就不是很重要了，因为它们是可以有理转化的。最后你可能想和我讲其它图形，那种不能有点线圆构成的图形，如椭圆，嗯，我只能说不在考虑范围内。

尺规作图公理

虽然严格定义尺规作图问题有点傻，但我还是想这么做，这就是我对数学的爱。

设Eⁿ为n维欧式空间(Euclid Space)，P⊆Eⁿ为初始点集，设直线影射F₁:Eⁿ×Eⁿ->Eⁿ满足(v₁,v₂)->k(v₁-v₂)，k为参数且v₁≠v₂；圆映射F₂:Eⁿ×Eⁿ->Eⁿ满足(v₁,v₂)->(v₃sinθ+(v₁-v₂)cosθ)，其中v₁≠kv₂且v₃与(v₁-v₂)正交且等模长，设D⊆Eⁿ为目标点集，若P可通过F₁和F₂扩充为D，则称D在P下可尺规作图。
吧啦吧啦……
好了，以上就是所有的公理和定理了，愣住了吗？确实，这里其实我就想说一件事，尺规作图并不适合形式化，虽然近代数学上有许多进行形式化的行为，典型代表是抽象代数和数理逻辑。回到尺规作图上，最好的形式化不过就是解析几何，但解析几何又涉及数，但有些作图问题又不可数化，典型的如角平分线，还有一道竞赛题，给一个椭圆，做出如焦点的各种几何元素，与此同时圆则必需在度量空间里才能定义，就是必需定义在欧式空间里，但欧式空间的形式化基本等同于解析几何。或许你觉得我在这里胡说八道吧，但事实就是，过了几百年，我也没有见过合适的形式化出现。目前对尺规作图的一个比较好的判断定理就是我写在很前面的那个，而其中的关键在于两个，初始集的数化和目标集的数化。我提了”数化”这个词好多次，但意思的话应该很容易知道就是将目标转化为数。

三大问题转化与解答

接下来我们将三大几何问题，转化为数的问题，以此来适应之前我们说的那个定理。你问我那个定理怎么证明的？我可以把它当成尺规作图的公理吗？不然连公理都没有哪来的证明概念。

倍立方

此问题的初始集是一个立方体，目标集是原立方体积两倍的立方体，它们都只有一个参数，那就是棱长，在作图问题里面度量依赖于相对，即我们的目标数应该是目标棱长与初始棱长的比。容易列方程解出目标比为³√2，接下来就是证明³√2不能由1做有限次有理运算与求平方根得出，需要证明，的确需要但我们不证明。因为你可以自己去寻找或感受，这难道不是民间的常见操作吗？易得³√2不能由1做有限次有理运算与求平方根得出，所以倍立方不能尺规作图。

三等分角

如我们之前所说，三角函数即可，我们可以直接拿出三倍角公式，sin(3θ)=3sinθ-4sin³θ，与之前不同的是，角自身就包含了比的性质，即角的问题自身不存在度量，也就是说角包含了一个内在自由度参数。我说的有点云里雾里的哈，举个实在的例子就是角是可以只接做出来的，比如90⁰的三等分，我们都不需要原始角，直接做出30⁰角就行了，因为30⁰角即是k/2(从sin方向，实际上尺规作图的核心就是勾股定理所带来的根号)，包含k这个自由度。而不能三等分所有角的核心有两个关键点，一是初始角提供无用信息，二是目标角不能完成，一个常用的例子就是初始角为60⁰(k/2从cos角度)，目标角为20⁰(8x³-6x-1=0的解)，而20⁰的那个解与上一例一样有³√且不能由1做有限次有理运算与求平方根得出，不过嘛，一般文章给的证明是证明一个三次方程的引理来完成的，不过核心还是不变的。这时你可能会想起二等分角的问题，但你会神奇地发现目标角不能完成的时候，初始角就可以提供有用的信息，当然也可以直接抛出二倍角公式，变成一个二次方程，得到根式解，就结束了，你难道觉得二次方程的解不能由1做有限次有理运算与求平方根得出吗？

化圆为方

这个嘛！性质和第一个其实是差不多的，初始集的参数是圆的半径，目标集的参数是正方形的边长，约束条件是面积相等，然后列一个方程，就得到两参数比为√π，不过根号可以生成，所以目标就是π能否由1做有限次有理运算与求平方根得出？这个的核心在于证明π为超越数，而不是证明π是无理数，那个证明有些复杂，我们以后说说吧。为什么会如此呢？这在于π能否由1尺规表出(定义一个术语吧，不能老是说那么长吧——由1做有限次有理运算与求平方根得出)不是一个π的分界性质(即不等号取不到等号)，不过一样可以进行放缩证明，证明π更泛的一个性质——超越性。我知道你觉得我在胡说八道，简单来说在尺规作图系统里π与√是定义平行的，没有圆规所包含的π实际上是做不出根号的。我举个简单的例子，连续统假设，它允许两种系统的存在(即可数无穷和实无穷之间既可以有其它无穷也可以没有)，注意我是从定义体系来说的，Eⁿ与π生的体系，当然如果从一个更广的体系Rⁿ来说的话，是不存在平行性的，也正因如此我们才能从π的超越性来说明尺规作图的不可能性。

尺规作图的不可形式化性？

承接上一问，尺规作图之所以不能形式化的原因，正在于这个圆和π，但圆和π却是使尺规作图能发展的关键所在，它能创建根号。如果你和我说分析都可以形式化的，但是你要注意它是依赖于R的，也就是我们的实数集，从有理数过度到实数的形式化，也是有些理论的，可以从极限角度也可以从分割角度，但是我们需要理解形式化的本质在于集合论，直接使用R，其实主要还是避免过长的定义链。算了，你就当我在瞎说吧！主要还是因为我的说明都过于文学化了，一点也不数学。你知道我为什么写这篇文章吗？其实我只是为了开始我的这个系列，我一直在数学与宇宙间挣扎，数学在我这个时代，从面的角度上来看，十分的广阔，但还有好多好多的细节需要去补充，数学能否有一次新的思想上的变革，至少我是不看好的，因为这实在太好高骛远了，自从有那些不可能系列的定理开始，数学的核心已经变成了对题目的解答，注意别把它和考试题联系哦！最近我还被一个宇宙时间演变的视频给吸引了，虽然它挺老的，但终究还是让我感叹人之渺小，我们终究无法逃过时间的逝去，一切成就或许就会在十分遥远的未来消失，得不到想知道的知识真的太难受了。面对题目毫无进展的感觉实在太难受了，所以我决定学习，学习题目的解答，所谓的数学探索，实际就是探索题目解答的路径与思想。所以一切定义和定理自己去学吧，如果不是太有趣，我可能就把它直接当常识了。

尺规作图可做的另一种表述

我们经过之前三个问题的分析可以知道，尺规作图从形式上，可以等价为能否从初始数做有限次有理运算与求平方根得出目标数，而这个在抽象代数上是可以有一个等价表述的。先给个定义吧，设∀a∈域F₂，都有a*a∈域F₁，F₁是F₂的真子集，则称F₂是F₁的二次扩张。容易得到，目标数可以由初始数尺规表出等价于目标数可以包含在初始数的有限次二次扩张的域里，接下来我们都会以这个做为尺规作图的初始公理。

结尾

这篇文章拖得有点久，有许多原因，如期末复习考试，一不小心沉迷于3Blue1Brown数学科普视频，游戏版本更新等等。但这只是开始，请记住这一点，尺规作图还远远没有结束呢！